Rozważamy funkcję f daną wzorem

$f\left(x\right)=\frac{ax+b}{x^2},x\ne 0$

Funkcja f ma ekstremum lokalne dla x=1. Zgodnie z warunkiem koniecznym istnienia ekstremum to oznacza, że

$f^{\prime }\left(1\right)=0$

Wiemy również, że

$f^{\prime }\left(-1\right)=1$

---

Wyznaczamy pochodną funkcji f. Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu, tj.

${\left(\frac{g\left(x\right)}{h\left(x\right)}\right)}^{\prime }=\frac{g^{\prime }\left(x\right)\cdot h\left(x\right)-g\left(x\right)\cdot h^{\prime }\left(x\right)}{{\left[h\left(x\right)\right]}^2},h\left(x\right)\ne 0$

otrzymujemy:

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{{\left(ax+b\right)}^{\prime }\cdot x^2-\left(ax+b\right)\cdot {\left(x^2\right)}^{\prime }}{{\left(x^2\right)}^2}=\frac{a{x}^2-\left(ax+b\right)\cdot 2x}{x^4}=$

$=\frac{a{x}^2-2a{x}^2-2bx}{x^4}=\frac{-a{x}^2-2bx}{x^4}=\frac{-ax-2b}{x^3}$

---

Obliczamy pochodną funkcji dla x=1 i x=-1.

$f^{\prime }\left(1\right)=\frac{-a-2b}{1^3}=-a-2b$

$f^{\prime }\left(-1\right)=\frac{-a\cdot \left(-1\right)-2b}{{\left(-1\right)}^3}=\frac{a-2b}{-1}=-a+2b$

Wiemy, że f'(1)=0, f'(-1)=1. Stąd otrzymujemy układ równań.

$\underline{+\{\begin{array}{l}-a-2b=0\\ -a+2b=1\end{array}}$

Dodajemy układ równań stronami i otrzymujemy:

$-2a=1|:\left(-2\right)$

$a=-\frac{1}{2}$

Wstawiamy otrzymane a np. do pierwszego równania i obliczamy b. 

$\frac{1}{2}-2b=0$

$-2b=-\frac{1}{2}$

$b=\frac{1}{4}$

Zatem

$\underline{\underline{\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{2}\\ b=\frac{1}{4}\end{array}}}$

---

Wyznaczamy wzór pochodnej funkcji f. 

$f^{\prime }\left(x\right)=\frac{-ax-2b}{x^3}=\frac{\frac{1}{2}x-2\cdot \frac{1}{4}}{x^3}=\frac{\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}}{x^3}=\frac{1}{2}\frac{x-1}{x^3}=\frac{x-1}{2x^3}$

Mamy obliczyć współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji f w punkcie o pierwszej współrzędnej x=2. Szukany współczynnik jest równy pochodnej funkcji f w punkcie styczności, czyli f'(2). Mamy:

$f^{\prime }\left(2\right)=\frac{2-1}{2^{}\cdot 2^3}=\underline{\underline{\frac{1}{16}}}$