W urnie są 3 kule białe i 1 kula czarna, czyli razem 4 kule.  Losujemy 2 kule. 

Pierwszą kulę możemy wylosować na 4 sposoby, a kolejną na 3 sposoby. Stąd

$\left|{\Omega }_1\right|=4\cdot 3=12$

Oznaczmy zdarzenie:

A₁ - wylosowane kule są w różnych kolorach.  Mamy dwie możliwości: najpierw wylosowano kulę białą, a następnie czarną lub odwrotnie. Kulę białą możemy wylosować na 3 sposoby, a kulę czarną - na 1 sposób.

Mamy zatem

$\left|A_1\right|=3\cdot 1+1\cdot 3=6$

Prawdopodobieństwo zdarzenia A₁ jest równe:

$P\left(A_1\right)=\frac{\left|A_1\right|}{|{\Omega }_2|}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$

---

W urnie zwiększono n-krotnie liczbę kul czarnych. To oznacza, że liczba kul czarnych jest równa

$1\cdot n=n$

Kul białych mamy 3, zatem wszystkich kul jest n+3.  

Losujemy dwie kule. Pierwszą kulę możemy wylosować na n+3 sposobów, a kolejną na n+2 sposobów. Stąd mamy, że

$\left|{\Omega }_2\right|=\left(n+3\right)\left(n+2\right)=n^2+2n+3n+6=n^2+5n+6$

Oznaczmy zdarzenie:

A₂ - wylosowane kule są w różnych kolorach.  Mamy dwie możliwości: najpierw wylosowano kulę białą, a następnie czarną lub odwrotnie. Kulę białą możemy wylosować na 3 sposoby, a kulę czarną - na n  sposobów.

Mamy zatem

$\left|A_2\right|=3\cdot n+n\cdot 3=3n+3n=6n$

Prawdopodobieństwo zdarzenia A₂  jest równe:

$P\left(A_2\right)=\frac{\left|A_2\right|}{|{\Omega }_2|}=\frac{6n}{n^2+5n+6}$

---

Wiemy, że prawdopodobieństwo po zwiększeniu kul czarnych nie uległo zmianie, zatem

$P\left(A_1\right)=P\left(A_2\right)$

Czyli

$\frac{1}{2}=\frac{6n}{n^2+5n+6}$

Korzystamy z własności proporcji i przekształcamy powyższe równanie:

$n^2+5n+6=12n$

$n^2-7n+6=0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe. Zakładamy, że n jest liczbą naturalną i n>1. 

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot 1\cdot 6=49-24=25$

$\sqrt{\Delta }=5$

$n_1=\frac{7-5}{2\cdot 1}=\frac{2}{2}=1\le 1$

$n_2=\frac{7+5}{2}=\frac{12}{2}=\underline{\underline{6}}>1$

Otrzymaliśmy, że wyłącznie jedno rozwiązanie spełnia warunki zadania, zatem

$\underline{\underline{n=6}}$