a)
Rozważamy liczbę 102 534. Mamy określić, na ile sposobów można przestawić cyfry, aby otrzymać liczbę podzielną przez 5.
Cyfra jest podzielna przez 5, gdy cyfrą jedności jest 0 lub 5. Zauważmy, że obie z tych cyfr są cyframi rozważanej liczby. Rozważamy dwa przypadki:
I przypadek: ostatnią cyfrą jest 0.
0
Pozostały nam cyfry 1, 2, 3, 4, 5. Pierwszą cyfrę możemy wybrać na 5 sposobów, a na wybór każdej kolejnej przypada o 1 możliwość mniej niż na poprzednią. Korzystamy z reguły mnożenia i mamy, że wszystkich liczb jest
II przypadek: ostatnią cyfrą jest 5.
5
Pozostały nam cyfry 0, 1, 2, 3, 4. Pierwszą cyfrę możemy wybrać na 4 sposoby (pierwszą cyfrą nie może być 0) Drugą cyfrę możemy wybrać również na 4 sposoby, a na wybór każdej kolejnej przypada o 1 możliwość mniej niż na poprzednią. Korzystamy z reguły mnożenia i mamy, że wszystkich liczb jest
Korzystamy z reguły dodawania i otrzymujemy, że wszystkich liczb podzielnych przez 5 jest
b)
Rozważamy liczbę 102 534. Mamy określić, na ile sposobów można przestawić cyfry, aby otrzymać liczbę większą od 250 000.
Rozważamy dwa przypadki:
I przypadek: pierwsza cyfra jest większa od 2.
Zauważmy, że gdy pierwsza cyfra jest większa od 2 (czyli jest równa 3, 4 lub 5), to niezależnie od pozostałych cyfr otrzymamy liczbę większą od 250000. Zatem pierwszą cyfrę wybieramy na 3 sposoby. Pozostało 5 cyfr. Możemy je ustawić na 5 miejscach na 5! sposobów. Korzystamy z reguły mnożenia i obliczamy liczbę wszystkich możliwości w tym przypadku.
II przypadek: pierwsza cyfra jest równa 2.
2
Aby liczba była większa od 250 000 to drugą cyfrą musi być 5. Do wyboru pozostały nam miejsca dla 4 cyfr. Możemy ustawić te cyfry na 4! sposobów. Stąd liczba wszystkich możliwości w tym przypadku jest równa:
Korzystamy z reguły dodawania i obliczamy, ile jest liczb spełniających warunki zadania.
Paweł Brzozowski
Nauczyciel matematyki
Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:
Tutaj pojawi się lista Twoich książek
Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.
