Wiemy, że wierzchołki A i B kwadratu ABCD należą do prostej 

$x-2y=0$

Punkt C należy do hiperboli o równaniu

$y=-\frac{8}{x}$

Zakładamy, że 

$x\ne 0$

Mamy obliczyć długość przekątnej kwadratu, którego pole jest najmniejsze.

---

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Rysujemy w układzie współrzędnych daną prostą i hiperbolę.

Rysunek:

Na prostej x-2y=0 zaznaczyliśmy punkty A i B, a na hiperboli - punkt C.  Długość boku kwadratu oznaczyliśmy przez a. 

Zauważmy, że długość boku kwadratu możemy wyznaczyć jako odległość punktu C od prostej AB. Skoro punkt C leży na hiperboli, to jego współrzędne możemy zapisać jako:

$C=\left(x,y\right)=\left(x,-\frac{8}{x}\right)$

Korzystamy ze wzoru na odległość punktu od prostej i zapisujemy w zależności od zmiennej x długość boku kwadratu.

$a=\frac{|1\cdot x-2\cdot \left(-\frac{8}{x}\right)+0|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{\left|x+\frac{16}{x}\right|}{\sqrt{5}}$

Zapisujemy pole kwadratu ABCD. Będzie to funkcja zmiennej x.

$P\left(x\right)=a^2={\left(\frac{\left|x+\frac{16}{x}\right|}{\sqrt{5}}\right)}^2=\frac{{\left(x+\frac{16}{x}\right)}^2}{5}=\frac{1}{5}{\left(x+\frac{16}{x}\right)}^2$

Przekształcamy wzór funkcji P(x). Korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy.

$P\left(x\right)=\frac{1}{5}\left(x^2+2\cdot x\cdot \frac{16}{x}+{\left(\frac{16}{x}\right)}^2\right)=\frac{1}{5}\left(x^2+32+\frac{256}{x^2}\right)=\frac{1}{5}\frac{x^4+32x^2+256}{x^2}$

Otrzymujemy, że funkcja pola kwadratu wyraża się wzorem

$P\left(x\right)=\frac{x^4+32x^2+256}{5x^2},x\ne 0$

---

Funkcja P(x) jest różniczkowalna w swojej dziedzinie. Wyznaczamy pochodną funkcji. Korzystamy ze wzoru na pochodną ilorazu:

${\left[\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}\right]}^{{}^{\prime }}=\frac{f^{\prime }\left(x\right)\cdot g\left(x\right)-f\left(x\right)\cdot g^{\prime }\left(x\right)}{{\left[g\left(x\right)\right]}^2},g\left(x\right)\ne 0$

$P^{\prime }\left(x\right)=\frac{{\left(x^4+32x^2+256\right)}^{\prime }\cdot 5x^2-\left(x^4+32x^2+256\right)\cdot {\left(5x^2\right)}^{\prime }}{{\left(5x^2\right)}^2}=$

$=\frac{(4x^3+64x)\cdot 5x^2-\left(x^4+32x^2+256\right)\cdot 10x}{25x^4}=$

$=\frac{20x^5+320x^3-10x^5-320x^3-2560x}{25x^4}=\frac{10x^5-2560x}{25x^4}$

Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej.

$P^{\prime }\left(x\right)=0⟺\frac{10x^5-2560x}{25x^4}=0$

Czyli

$10x^5-2560x=0$

$10x\left(x^4-256\right)=0$

Stąd

$\begin{array}{cccc}10x=0& \vee & x^4-256=0& \\ x=0\notin D& & x^4=256& \\ & & x^4=4^4& \\ & & x=4\vee x=-4& \end{array}$

Otrzymaliśmy, że pochodna funkcji P ma dwa miejsca zerowe (x=0 nie należy do dziedziny funkcji P).

Mianownik we wzorze pochodnej przyjmuje wartości dodatnie dla dowolnej liczby x z dziedziny funkcji, zatem znak pochodnej zależy od znaku licznika, czyli od y=10x⁵-2560x.

Sporządzamy szkic znakowy pochodnej.

Rysunek:

 

Z rysunku odczytujemy przedziały, w których pochodna przyjmuje wartości dodanie i ujemne i tym samym otrzymujemy przedziały monotoniczności funkcji f.

Sporządzamy tabelę zmienności funkcji.

$x$	$\left(-\infty ;-4\right)$	$-4$	$\left(-4;0\right)$	$0$	$\left(0;4\right)$	$4$	$\left(4;\infty \right)$
$f^{\prime }\left(x\right)$	$-$	$0$	$+$	$X$	$-$	$0$	$+$
$f\left(x\right)$	$\searrow$	$\text{min}$	$\nearrow$	$X$	$\searrow$	$\text{min}$	$\nearrow$

Z tabeli odczytujemy, że funkcja P osiąga minima lokalne dla x=-4 i x=4.  Ze wzoru funkcji P wynika, że ta funkcja jest parzysta, zatem dla przeciwnych argumentów przyjmuje taką samą wartość.  Stąd mamy, że P(-4)=P(4). To oznacza, że najmniejsze możliwe pole jest dla x=4 i x=-4.

---

Dla x=4 wyznaczamy długość boku kwadratu.

$a=\frac{\left|x+\frac{16}{x}\right|}{\sqrt{5}}=\frac{4+\frac{16}{4}}{\sqrt{5}}=\frac{4+4}{\sqrt{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}=\frac{8\cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{5}}=\frac{8\sqrt{5}}{5}$ 

Przekątna kwadratu ABCD o najmniejszym polu ma zatem długość

$d=a\sqrt{2}=\frac{8\sqrt{5}}{5}\cdot \sqrt{2}=\underline{\underline{\frac{8}{5}\sqrt{10}}}$