a)

Obliczamy granicę jednostronną. W miejsce x we wzorze funkcji wstawiamy x=4 i otrzymujemy:

$\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{1-x}{x-4}=\left[\frac{1-4}{4-4}\right]=\left[\frac{-3}{0}\right]$  

Otrzymaliśmy 0 w mianowniku. Rysujemy szkic znakowy mianownika:

$y=x-4$   

Zauważmy, że miejscem zerowym mianownika jest

$x=4$  

Mianownik jest rosnącą funkcją liniową. Sporządzamy rysunek:

Rysunek:

Zauważmy, że gdy x dążymy do 4 z prawej strony to mianownik przyjmuje wartości dodatnie. Stąd szukana granica jest równa:

$\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{1-x}{x-4}=\left[\frac{-3}{0^{+}}\right]=\underline{\underline{-\infty }}$  

---

b)

Obliczamy granicę jednostronną. W miejsce x we wzorze funkcji wstawiamy x=5 i otrzymujemy:

$\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{1-x}{5-x}=\left[\frac{1-5}{5-5}\right]=\left[\frac{-4}{0}\right]$  

Otrzymaliśmy 0 w mianowniku. Rysujemy szkic znakowy mianownika:

$y=5-x$   

Zauważmy, że miejscem zerowym mianownika jest

$x=5$  

Mianownik jest malejącą funkcją liniową. Sporządzamy rysunek:

Rysunek:

Zauważmy, że gdy x dążymy do 4 z lewej strony to mianownik przyjmuje wartości dodatnie. Stąd szukana granica jest równa:

$\underset{x\to 5^{-}}{\lim }\frac{x-6}{5-x}=\left[\frac{-1}{0^{+}}\right]=\underline{\underline{-\infty }}$  

---

c)

Obliczamy granicę jednostronną. W miejsce x we wzorze funkcji wstawiamy x=-3 i otrzymujemy:

$\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\frac{x+7}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=\left[\frac{-3+7}{\left(-3+3\right)\left(-3+4\right)}\right]=\left[\frac{4}{0}\right]$  

Otrzymaliśmy 0 w mianowniku. Rysujemy szkic znakowy mianownika:

$y=\left(x+3\right)\left(x+4\right)$   

Zauważmy, że mianownik jest trójmianem kwadratowym, którego pierwiastkami są

$x_1=-3,x_2=-4$  

Rysunek:

Zauważmy, że gdy x dążymy do -3 z prawej strony to mianownik przyjmuje wartości dodatnie. Stąd szukana granica jest równa:

$\underset{x\to -3^{+}}{\lim }\frac{x+7}{\left(x+3\right)\left(x+4\right)}=\left[\frac{4}{0^{+}}\right]=\underline{\underline{\infty }}$  

---

d)

Obliczamy granicę jednostronną. W miejsce x we wzorze funkcji wstawiamy x=1 i otrzymujemy:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2+1}{x^2+3x-4}=\left[\frac{1+1}{1+3-4}\right]=\left[\frac{2}{0}\right]$  

Otrzymaliśmy 0 w mianowniku. Rysujemy szkic znakowy mianownika:

$y=x^2+3x-4$   

Zauważmy, że mianownik jest trójmianem kwadratowym. Wyznaczamy jego pierwiastki.

$\Delta =3^2-4\cdot 1\cdot \left(-4\right)=9+16=25,\sqrt{\Delta }=5$  

$x_1=\frac{-3-5}{2}=-4,x_2=\frac{-3+5}{2}=1$  

Rysunek:

Zauważmy, że gdy x dążymy do 1 z lewej strony to mianownik przyjmuje wartości ujemne. Stąd szukana granica jest równa:

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2+1}{x^2+3x-4}=\left[\frac{2}{0^{-}}\right]=\underline{\underline{-\infty }}$  

---

e)

Obliczamy granicę. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

$\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^2}-\frac{x-2}{x^3-x}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{1}{x^2}-\frac{x-2}{x\left(x^2-1\right)}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{x^2-1}{x^2\cdot \left(x^2-1\right)}-\frac{\left(x-2\right)\cdot x}{x\left(x^2-1\right)\cdot x}\right)=$  

$=\underset{x\to 0}{\lim }\left(\frac{x^2-1}{x^2\left(x^2-1\right)}-\frac{x^2-2x}{x^2\left(x^2-1\right)}\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-1-x^2+2x}{x^2\left(x^2-1\right)}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x-1}{x^2\left(x^2-1\right)}$  

 W miejsce x we wzorze funkcji wstawiamy x=1 i otrzymujemy:

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x-1}{x^2\left(x^2-1\right)}=\left[\frac{2\cdot 0-1}{0\cdot \left(0-1\right)}\right]=\left[\frac{-1}{0}\right]$  

Otrzymaliśmy 0 w mianowniku. Rysujemy szkic znakowy mianownika:

$y=x^2\left(x^2-1\right)=x^2\underset{x^2-1}{\underbrace{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}}$   

Zauważmy, że pierwiastkami powyższego wielomianu są x₁=0 (pierwiastek dwukrotny), x₂=1, x₃=-1. 

Rysunek:

Aby sprawdzić, czy istnieje granica w zerze, wyznaczamy granice jednostronne.

Zauważmy, że gdy x dążymy do 0 zarówno z lewej strony, jak i z prawej strony,  to mianownik przyjmuje wartości ujemne. Stąd:

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{2x-1}{x^2\left(x^2-1\right)}=\left[\frac{-1}{0^{-}}\right]=\infty$  

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2x-1}{x^2\left(x^2-1\right)}=\left[\frac{-1}{0^{-}}\right]=\infty$  

Granice jednostronne w zerze są równe. To oznacza, że istnieje granica funkcji w zerze i jest równa granicom jednostronnym w tym punkcie. Stąd

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2x-1}{x^2\left(x^2-1\right)}=\underline{\underline{\infty }}$  

---

f)

Obliczamy granicę. Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika.

$\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{4}{1-x}-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{4}{-\left(x-1\right)}-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}\right)=$  

$=\underset{x\to 1}{\lim }\left(\frac{-4\cdot \left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\cdot \left(x-1\right)}-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-4x+4-1}{{\left(x-1\right)}^2}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-4x+3}{{\left(x-1\right)}^2}$  

 W miejsce x we wzorze funkcji wstawiamy x=1 i otrzymujemy:

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-4x+3}{{\left(x-1\right)}^2}=\left[\frac{-4+3}{{\left(1-1\right)}^2}\right]=\left[\frac{-1}{0}\right]$  

Otrzymaliśmy 0 w mianowniku. Mianownikiem funkcji, której liczymy granicę, jest trójmian kwadratowy

$y={\left(x-1\right)}^2$   

Zauważmy, że mianownik kwadratem pewnej liczby rzeczywistej, zatem przyjmuje wartości nieujemne. To oznacza, że gdy x dąży do 1, to mianownik przyjmuje wartości dodatnie bliskie 0.  Stąd szukana granica jest równa

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{-4x+3}{{\left(x-1\right)}^2}=\left[\frac{-1}{0^{+}}\right]=\underline{\underline{-\infty }}$