Dany jest graniastosłup, którego podstawą jest trapez równoramienny. Na podstawie rysunku dołączonego do treści zadania sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Z treści zadania wiemy, że:

$\text{tg}\alpha =\frac{1}{2}$  

Z definicji funkcji tangens w trójkącie prostokątnym ABB₁ mamy:

$\text{tg}\alpha =\frac{6}{a}$  

Czyli

$\frac{1}{2}=\frac{6}{a}$  

Korzystamy z własności proporcji i otrzymujemy:

$1\cdot a=6\cdot 2$  

Czyli

$a=12$  

---

W trójkącie prostokątnym ADD₁ mamy:

$\left|\sphericalangle DA{D}_1\right|={45}^{\circ }$  

Z sumy miar kątów w trójkącie otrzymujemy, że drugi kąt ostry w tym trójkącie ma miarę

$\left|\sphericalangle A{D}_{1}D\right|={45}^{\circ }$  

To oznacza, że trójkąt ADD₁ jest równoramienny i 

$\left|AD\right|=\left|D{D}_1\right|=6$  

---

Wyznaczamy pole podstawy graniastosłupa. Sporządzamy rysunek pomocniczy.

Rysunek:

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ABC obliczamy długość przekątnej trapezu.

$x^2+6^2={12}^2$  

$x^2+36=144$  

$x^2=144-36$  

$x^2=108\wedge x>0$  

$x=\sqrt{108}=\sqrt{36\cdot 3}=6\sqrt{3}$  

Pole trójkąta ABC można zapisać na dwa sposoby:

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|\cdot \left|CB\right|=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{3}\cdot 6=18\sqrt{3}$   

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot h=6h$  

Porównujemy pola i obliczamy h

$6h=18\sqrt{3}\mid :6$

$h=3\sqrt{3}$  

---

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym AEC obliczamy długość odcinka AE. 

${\left|AE\right|}^2+h^2={\left|AC\right|}^2$

${\left|AE\right|}^2+{\left(3\sqrt{3}\right)}^2={\left(6\sqrt{3}\right)}^2$  

${\left|AE\right|}^2+27=108\mid -27$  

${\left|AE\right|}^2=81\wedge \left|AE\right|>0$  

$\left|AE\right|=9$  

Stąd

$\left|EB\right|=12-9=3$  

To oznacza, że również

$\left|AF\right|=3$  

Czyli

$b=12-2\cdot 12-6=6$  

---

Ze wzoru na pole trapezu obliczamy pole podstawy graniastosłupa.

$P_p=\frac{a+b}{2}\cdot h=\frac{12+6}{2}\cdot 3\sqrt{3}=9\cdot 3\sqrt{3}=27\sqrt{3}$  

Obliczamy objętość graniastosłupa.

$V=P_p\cdot H=27\sqrt{3}\cdot 6=\underline{\underline{162\sqrt{3}}}$