Wysokość w trójkącie prostokątnym

Jeżeli wysokość h poprowadzona na przeciwprostokątną w trójkącie prostokątnym dzieli tę przeciwprostokątną na odcinki o długościach x i y, to

$h=\sqrt{xy}$

---

Wiemy, że wysokość opuszczona na przeciwprostokątną dzieli ją w stosunku 9:16. Wobec tego możemy przyjąć, że te odcinki mają długość odpowiednio  9x i 16x, gdzie x jest pewną liczbą dodatnią. 

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Pokażemy najpierw, że trójkąty BCD i CAD są podobne.

Z sumy miar kątów w trójkącie ABC mamy, że

$\alpha +\beta +{90}^{\circ }={180}^{\circ }-{90}^{\circ }-\beta$  

Czyli

$\alpha ={90}^{\circ }-\beta$  

Z sumy miar kątów wewnętrznych w trójkącie CDB mamy, że

$\left|\sphericalangle BCD\right|+{90}^{\circ }+\beta ={180}^{\circ }\mid -{90}^{\circ }-\beta$  

$\left|\sphericalangle BCD\right|={90}^{\circ }-\beta =\alpha$  

Z trójkąta ACD mamy, że 

$\alpha +{90}^{\circ }+\left|\sphericalangle ACD\right|={180}^{\circ }\mid -{90}^{\circ }-\alpha$  

Czyli

$\left|\sphericalangle ACD\right|={90}^{\circ }-\alpha =\beta$  

Nanosimy otrzymane kąty na rysunek:

Trójkąty BCD i CAD mają takie same kąty wewnętrzne, zatem na podstawie cechy kkk (kąt-kąt-kąt) są podobne. 

Wyznaczymy teraz w zależności od x długość wysokości h. Korzystając ze wzoru na wysokość w trójkącie prostokątnym, mamy:

$h=\sqrt{9x\cdot 16x}=\sqrt{144x^2}=12x$

---

a)

Mamy obliczyć stosunek długości przyprostokątnych trójkąta ABC. 

Korzystamy z podobieństwa trójkątów BCD i CAD i otrzymujemy proporcję:

$\frac{9x}{a}=\frac{h}{b}$  

$\frac{9x}{a}=\frac{12x}{b}$  

Z własności proporcji otrzymujemy:

$9x\cdot b=12x\cdot a\mid :3x>0$  

$3b=4aquad\mid :4$  

$\frac{3}{4}b=a\mid :b$  

$\frac{3}{4}=\frac{a}{b}$   

Stąd stosunek długości przyprostokątnych trójkąta ABC jest równy:

$\underline{\underline{a:b=3:4}}$  

---

b)

Mamy obliczyć stosunek pól trójkątów BCD i CAD.  Obliczamy skalę podobieństwa tych trójkątów, np. korzystając z długości przeciwprostokątnych tych trójkątów. Mamy wtedy, że

$k=\frac{a}{b}$  

Korzystając z podpunktu a), otrzymujemy, że

$k=\frac{a}{b}=\underline{\underline{\frac{3}{4}}}$  

Przypomnijmy, że jeżeli trójkąty są podobne w skali k, to stosunek pól tych trójkątów jest równy k². Stąd

$\frac{P_{△BCD}}{P_{△CAD}}=k^2={\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$  

Zatem

$P_{△BCD}:P_{△CAD}=\underline{\underline{9:16}}$