Przypomnijmy, że wykresem funkcji liniowej jest prosta  $y=ax+b$   Liczbę a nazywamy współczynnikiem kierunkowym prostej. Współczynnik kierunkowy prostej  $y=ax+b$   przechodzącej przez dwa różny punkty  $A\left(x_1,y_1\right)\text{i}B\left(x_2,y_2\right)$  takie, że   $x_1\ne x_2$ jest równy: $a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$   Punkt przecięcia prostej  $y=ax+b$   z osią Oy ma współrzędne (0, b).

---

a)

Wyznaczamy równanie prostej l.

Niech 

$l:y=ax+b$  

Z rysunku odczytujemy, że do prostej l należą punkty (0,3) i  (1,2). 

Skoro punkt (0, 3) należy do prostej l, to współczynnik  b w równaniu tej prostej jest równy 

$b=3$  

Zatem

$y=ax+3$  

Wstawiamy współrzędne punktu (1,2) do powyższego równania i obliczamy współczynnik a.

$2=a\cdot 1+3$  

$a=-1$  

Zatem

$l:y=-x+3$  

Wyznaczamy równanie prostej k.

Niech 

$k:y=ax+b$  

Z rysunku odczytujemy, że do prostej k należą punkty (0,0) i  (1,2).

Skoro punkt (0, 0) należy do prostej k, to współczynnik  b w równaniu tej prostej jest równy 

$b=0$  

Zatem

$y=ax$  

Wstawiamy współrzędne punktu (1,2) do powyższego równania i obliczamy współczynnik a.

$2=a\cdot 1$  

$a=2$  

Zatem

$k:y=2x$  

Punktem przecięcia prostych k  i l jest punkt o współrzędnych (1,2).

---

b)

Wyznaczamy równanie prostej l.

Niech 

$l:y=ax+b$  

Z rysunku odczytujemy, że do prostej l należą punkty (0,3) i  (3,2).

Skoro punkt (0, 3) należy do prostej l, to współczynnik  b w równaniu tej prostej jest równy 

$b=3$  

Zatem

$y=ax+3$  

Wstawiamy współrzędne punktu (3,2) do powyższego równania i obliczamy współczynnik a.

$2=a\cdot 3+3$  

$3a=2-3$  

$3a=-1\mid :3$  

$a=-\frac{1}{3}$  

Zatem

$l:y=-\frac{1}{3}x+3$  

Wyznaczamy równanie prostej k.

Niech 

$k:y=ax+b$  

Z rysunku odczytujemy, że do prostej k należą punkty (2,2) i  (3,5).

Korzystamy ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej i obliczamy współczynnik a.

$a=\frac{5-2}{3-2}=\frac{3}{1}=3$  

Zatem

$y=3x+b$  

Wstawiamy współrzędne punktu (2,2) do powyższego równania i obliczamy współczynnik b.

$2=3\cdot 2+b$  

$2=6+b$  

$b=-4$  

Zatem

$k:y=3x-4$  

Współrzędne punktu przecięcia prostych  k i l  otrzymamy z rozwiązania  układu równań:

$\{\begin{array}{l}y=-\frac{1}{3}x+3\\ y=3x-4\end{array}$

Rozwiązujemy układ metodą podstawiania: 

$-\frac{1}{3}x+3=3x-4\mid \cdot 3$   

$-x+9=9x-12$  

$-x-9x=-12-9$  

$-10x=-21\mid :\left(-10\right)$  

$x=\frac{21}{10}=2,1$  

Wstawiamy otrzymaną liczbę do dowolnego równania układu i obliczamy y.

$y=3\cdot 2,1-4=6,3-4=\frac{23}{10}$  

Zatem rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

$\{\begin{array}{l}x=\frac{21}{10}\\ y=\frac{23}{10}\end{array}$  

Stąd proste k i l przecinają się w punkcie o współrzędnych   $\left(\frac{21}{10},\frac{23}{10}\right)$   

---

c)

Wyznaczamy równanie prostej l.

Niech 

$l:y=ax+b$  

Z rysunku odczytujemy, że do prostej l należą punkty (0,2) i  (2,3).

Skoro punkt (0, 2) należy do prostej l, to współczynnik  b w równaniu tej prostej jest równy 

$b=2$  

Zatem

$y=ax+2$  

Wstawiamy współrzędne punktu (2,3) do powyższego równania i obliczamy współczynnik a.

$3=a\cdot 2+2$  

$2a=3-2$  

$2a=1\mid :2$  

$a=\frac{1}{2}$  

Zatem

$l:y=\frac{1}{2}x+2$  

Wyznaczamy równanie prostej k.

Niech 

$k:y=ax+b$  

Z rysunku odczytujemy, że do prostej k należą punkty (2,2) i  (3,5).

Korzystamy ze wzoru na współczynnik kierunkowy prostej i obliczamy współczynnik a.

$a=\frac{5-2}{3-2}=\frac{3}{1}=3$  

Zatem

$y=3x+b$  

Wstawiamy współrzędne punktu (2,2) do powyższego równania i obliczamy współczynnik b.

$2=3\cdot 2+b$  

$2=6+b$  

$b=-4$  

Zatem

$k:y=3x-4$  

Współrzędne punktu przecięcia prostych  k i l  otrzymamy z rozwiązania  układu równań:

$\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{2}x+2\\ y=3x-4\end{array}$

Rozwiązujemy układ metodą podstawiania: 

$\frac{1}{2}x+2=3x-4\mid \cdot 2$   

$x+4=6x-8$  

$x-6x=-8-4$  

$-5x=-12\mid :\left(-5\right)$  

$x=\frac{12}{5}$  

Wstawiamy otrzymaną liczbę do dowolnego równania układu i obliczamy y.

$y=3\cdot \frac{12}{5}-4=\frac{36}{5}-\frac{20}{5}=\frac{16}{5}$  

Zatem rozwiązaniem układu równań jest para liczb:

$\{\begin{array}{l}x=\frac{12}{5}\\ y=\frac{16}{5}\end{array}$  

Stąd proste k i l przecinają się w punkcie o współrzędnych   $\left(\frac{12}{5},\frac{16}{5}\right)$