Rozważamy liczby

$a={\log }_{\frac{1}{3}}9,b={\log }_{3}x,c={\log }_{3}81$

Mamy ocenić prawdziwość zdań.

Pierwsze zdanie:

Dla x=3 wyrażenie 2b-c ma wartość -2.

Obliczenia:

Zauważmy, że dla x=3 liczba b jest równa

$b={\log }_{3}x={\log }_{3}3=1$

Liczba c jest z kolei równa:

$c={\log }_{3}81={\log }_3{3}^4=4\underset{1}{\underbrace{\cdot {\log }_{3}3}}=4$

Stąd otrzymujemy, że

$2b-c=2\cdot 1-4=2-4=\underline{\underline{-2}}$

Zatem pierwsze zdanie jest prawdziwe.

---

Drugie zdanie:

Dla x=3 liczby a, b i c tworzą w podanej kolejności ciąg geometryczny.

Obliczenia:

Wcześniej obliczyliśmy już, że

$b=1,c=4$

Obliczamy liczbę a. Korzystamy z praw działań na potęgach i logarytmach:

$a={\log }_{\frac{1}{3}}9={\log }_{\frac{1}{3}}{\left(\frac{1}{3}\right)}^{-2}=-2\cdot {\log }_{\frac{1}{3}}\frac{1}{3}=-2$

Zatem

$(a,b,c)=(-2,1,4)$

Zauważmy, że

$\frac{b}{a}=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2},\frac{c}{b}=\frac{4}{1}=4$

Skoro iloraz dwóch sąsiednich wyrazów tego ciągu nie jest stały, to ten ciąg nie jest geometryczny. To oznacza, że drugie zdanie jest fałszywe.

---

Odp. PF.