Informacja do zadań 18.1 i 18.2:

Podstawy trapezu ABCD mają długości 6 i 10. Odcinek OP ma długość 4.

---

Sporządzamy rysunek pomocniczy.

Rysunek:

Mamy obliczyć stosunek pola trójkąta AOB do pola trójkąta COD. 

Zauważmy, że kąty zaznaczone tym samym kolorem w trójkątach AOB i COD mają taką samą miarę, gdyż

• $\left|\sphericalangle AOB\right|=\left|\sphericalangle COD\right|\text{(kąty wierzchołkowe)}$  
• $\left|\sphericalangle ABO\right|=\left|\sphericalangle CDO\right|\text{(kąty naprzemianległe)}$  
• $\left|\sphericalangle BAO\right|=\left|\sphericalangle DCO\right|\text{(kąty naprzemianległe)}$  

Trójkąty AOB i COD mają kąty o takich samych miarach, zatem na mocy cechy kąt-kąt-kąt są podobne. Skala podobieństwa jest równa stosunkowi długości podstaw trapezu ABCD, czyli

$k=\frac{\left|AB\right|}{\left|CD\right|}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$  

Stosunek pól trójkątów podobnych jest równy kwadratowi skali podobieństwa, co oznacza, że

$\frac{P_{△\text{AOB}}}{P_{△\text{COD}}}={\left(\frac{5}{3}\right)}^2=\underline{\underline{\frac{25}{9}}}$  

---

Wyznaczamy stosunek pól trójkątów AOD i BOC. Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku.

Rysunek:

Z rysunku wynika, że trójkąty ADB i ACB mają równe pola, ponieważ te trójkąty mają wspólną podstawę AB oraz taką samą wysokość h poprowadzoną na tę podstawę. Stąd mamy, że

$P_{△\text{ADB}}=P_{△\text{ACB}}$  

Zauważmy, że pole trójkąta ADB można zapisać jako sumę pól trójkątów AOD i AOB, a pole trójkąta ACB można zapisać jako sumę pól trójkątów BOC i AOB. 

Czyli mamy

$\underset{P_{△\text{ADB}}}{\underbrace{P_{△\text{AOD}}+P_{△\text{AOB}}}}=\underset{P_{△\text{ACB}}}{\underbrace{P_{△\text{BOC}}+P_{△\text{AOB}}}}\mid -P_{△\text{AOB}}$  

Stąd

$P_{△\text{AOD}}=P_{△\text{BOC}}$  

Otrzymaliśmy, że trójkąty AOD i BOC mają takie same pola, co oznacza, że stosunek pól tych trójkątów jest równy 1.

---

Odp.: Stosunek pola trójkąta AOB do pola trójkąta COD jest równy ²⁵/₉, a stosunek pola trójkąta AOD do pola trójkąta BOC wynosi 1.