Założenia:

x jest dowolną liczbą naturalną nieparzystą

Teza:

Liczba   $2x^2+4x+10$   jest podzielna przez 8.

Dowód:

Skoro x jest liczbą nieparzystą, to jest postaci

$x=2n+1$  

gdzie n jest dowolną liczbą naturalną.  

Wtedy:

$2x^2+4x+10=2{\left(2n+1\right)}^2+4\cdot \left(2n+1\right)+10=\dots$  

korzystamy ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy: (a+b)²=a²+2ab+b² i otrzymujemy:

$\dots =2\left({\left(2n\right)}^2+2\cdot 2n\cdot 1+1^2\right)+8n+4+10=2\left(4n^2+4n+1\right)+8n+14=$  

$=8n^2+8n+2+8n+14=8n^2+16n+16=8\underset{k\in \mathbb{N}}{\underbrace{\left(n^2+2n+2\right)}}=8k,k\in \mathbb{N}$  

Pokazaliśmy, że  dla dowolnej nieparzystej liczby x liczba 2x²+4x+10 jest iloczynem liczby 8 i pewnej liczby naturalnej, zatem jest liczbą podzielną przez 8,

co należało wykazać.