Informacja do zadań 78.1 i 78.2

Rozważamy okrąg 

${\left(x-2\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2=20$

Odcinek AB jest średnicą tego okręgu.

---

Trójkąt ABC jest wpisany w okrąg, czyli okrąg jest opisany na trójkącie ABC. Skoro bok AB trójkąta jest jednocześnie średnicą okręgu na nim opisanego, to ten trójkąt jest prostokąty, a AB jest przeciwprostokątną. 

Z równania okręgu odczytujemy promień:

$R=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$  

To oznacza, że bok AB będący średnicą okręgu ma długość

$\left|AB\right|=2R=4\sqrt{5}$  

---

Z treści zadania wiemy, że przyprostokątne AC i BC spełniają warunek:

$\left|AC\right|=2\left|BC\right|$  

Oznaczmy długość przyprostokątnej BC jako a.  Wtedy

$\left|AC\right|=2a$  

---

Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABC otrzymujemy:

${\left|AC\right|}^2+{\left|BC\right|}^2={\left|AB\right|}^2$  

Czyli

${\left(2a\right)}^2+a^2={\left(4\sqrt{5}\right)}^2$  

$4a^2+a^2=80$  

$5a^2=80\mid :5$  

$a^2=16\wedge a>0$  

Stąd

$a=4$  

Zatem przyprostokątne trójkąta ABC mają długości

$\left|BC\right|=a=4$  

$\left|AC\right|=2a=8$  

---

Obliczamy pole trójkąta, korzystając z długości przyprostokątnych:

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|AC\right|\cdot \left|BC\right|=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 4=\frac{1}{2}\cdot 32=\underline{\underline{16}}$