Treść:

Prosta 𝑘 o równaniu 𝑥 + 𝑦 − 9 = 0 przecina parabolę o równaniu 𝑦 = ¹/₄𝑥² −³/₂𝑥 + ¹/₄ w punktach 𝐴 oraz 𝐵. Pierwsza współrzędna punktu 𝐴 jest liczbą dodatnią; pierwsza współrzędna punktu 𝐵 jest liczbą ujemną. Prosta 𝑙 jest równoległa do prostej 𝑘 i styczna do danej paraboli w punkcie 𝐶.

Oblicz odległość punktu 𝑪 od prostej 𝒌 oraz pole trójkąta 𝑨𝑩𝑪.

Zapisz obliczenia.

---

Rozwiązanie:

Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej k.

$k:x+y-9=0$

$k:y=-x+9\Rightarrow a_k=-1$

Prosta l jest równoległa do prostej k, więc 

$a_l=a_k=-1$

Stąd

$l:y=-x+b_l$

Wiemy, że prosta i parabola mogą mieć dokładnie 0, dokładnie 1 lub dokładnie 2 punkty wspólne. Skoro więc prosta l jest styczna do paraboli w punkcie C, to jest on jedynym punktem wspólnym paraboli i prostej l. Oznacza to, że współrzędne (x,y) punktu C są jedynym rozwiązaniem układu równań:

$\{\begin{array}{l}y=-x+b_l\\ y=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}\end{array}$

Zauważmy, że układ ten ma dokładnie 1 rozwiązanie jedynie wtedy, gdy równanie

$-x+b_l=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}$  

ma dokładnie 1 rozwiązanie, czyli gdy

$\Delta =0$

Mamy więc

$-x+b_l=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}\mid \cdot 4$

$-4x+4b_l=x^2-6x+1\mid +4x-4b_l$

$x^2-2x+1-4b_l=0$

$\Delta ={\left(-2\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(1-4b_l\right)=4-4+16b_l=16b_l$

Zatem

$\Delta =0\iff 16b_l=0\iff b_l=0$

Otrzymujemy więc, że prosta l ma równanie:

$\underline{y=-x}$

Korzystając z wcześniejszych rachunków (teraz już dla b_l = 0), obliczamy współrzędne punktu C.

$\{\begin{array}{l}y=-x\\ y=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}\end{array}$

$x^2-2x+1=0$

${\left(x-1\right)}^2=0$

$x=1$     

$\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\end{array}$

Stąd 

$\underline{C=\left(-1,1\right)}$  

Obliczamy odległość punktu C od prostej k:  y = -x + 9.

$d=\frac{\left|1\cdot \left(-1\right)+1\cdot 1-9\right|}{\sqrt{1^1+1^2}}=\frac{9}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}$  

Otrzymaliśmy więc, że odległość punktu C od prostej k jest równa

$\underline{\underline{\mathbf{d}=\frac{9\sqrt{2}}{2}}}$  

---

Zauważmy, że pole trójkąta ABC możemy obliczyć w następujący sposób:

$P=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot d$

Aby obliczyć długość odcinka AB, wyznaczamy współrzędne jego końców.

Punkty A i B są punktami wspólnymi paraboli i prostej k, zatem znajdujemy je, rozwiązując układ równań:

  $\{\begin{array}{l}y=-x+9\\ y=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}\end{array}$

$-x+9=\frac{1}{4}{x}^2-\frac{3}{2}x+\frac{1}{4}\mid \cdot 4$

$-4x+36=x^2-6x+1$

$x^2-2x-35=0$

$\Delta =144,\sqrt{\Delta }=12$

$x=\frac{2-12}{2\cdot 1}=-5\vee x=\frac{2+12}{2\cdot 1}=7$  

  $\{\begin{array}{l}x=-5\\ y=-\left(-5\right)+9=14\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x=7\\ y=-7+9=2\end{array}$  

Uwzględniając informacje o znaku współrzędnych punktów A i B, otrzymujemy:

$\underline{A=\left(7,2\right),B=\left(-5,14\right)}$  

Obliczamy długość odcinka AB.

$\left|AB\right|=\sqrt{{\left(14-2\right)}^2+{\left(-5-7\right)}^2}=\sqrt{144+144}=\sqrt{144\cdot 2}=12\sqrt{2}$  

Obliczamy pole trójkąta ABC.

$P=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot d=\frac{1}{2}\cdot 12\sqrt{2}\cdot \frac{9\sqrt{2}}{2}=54$

Ostatecznie otrzymaliśmy więc, że pole trójkąta ABC jest równe

$\underline{\underline{\mathbf{P}=54}}$