Z treści zadana wiemy, ze do wykresu funkcji:

$f\left(x\right)=a^x+b,x\in \mathbb{R}$

należą punkty A(1, -5) i B(2, -3).

---

---

a)

Założenia:

$a>0$  

Wyznaczamy a i b rozwiązując układ równań:

$\{\begin{array}{l}f\left(1\right)=-5\\ f\left(2\right)=-3\end{array}$

$\{\begin{array}{l}{a}^1+b=-5\\ a^2+b=-3\end{array}$

$\{\begin{array}{l}b=-5-a\\ a^2+b=-3\end{array}$    

$\{\begin{array}{l}b=-5-a\\ a^2-5-a=-3\end{array}$

Rozwiązujemy równanie:

$a^2-a-5=-3$   

$a^2-a-2=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=9,\sqrt{\Delta }=3$

$a=\frac{1-3}{2}=-1<0\text{lub}a=\frac{1+3}{2}=2$

 Wobec tego a=2.

Wyznaczamy wartość b:

$b=-5-a=-5-2=-7$  

$\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-7\end{array}$

---

---

b) 

Zapisujemy wzór funkcji f:

$f\left(x\right)=2^x-7,x\in \mathbb{R}$

Należy rozwiązać nierówność:

$f\left(x\right)<25$

zatem:

$2^x-7<25\mid +7$

$2^x<32$

$2^x<2^5$

Zauważmy, że funkcja y=2^x jest rosnąca, zatem im większy argument tym większa wartość funkcji, więc:

$x<5$    

$x\in \left(-\infty ,5\right)$  

---

---

c)

$f\left(\frac{k}{2}\right)=1$

zatem:

$2^{\frac{k}{2}}-7=1$

$2^{\frac{k}{2}}=8$

$2^{\frac{k}{2}}=2^3$

$\frac{k}{2}=3$

$k=6$

---

$f\left(p+1\right)=9$

zatem:

$2^{p+1}-7=9$

$2^{p+1}=16$

$2^{p+1}=2^4$

$p+1=4$

$p=3$

---

Wobec tego:

$k^2+p^2=6^2+3^2=36+9=45=5\cdot 9$

Wnioskujemy, że liczba:

$k^2+p^2=5\cdot 9$

jest podzielna przez 5,

co należało wykazać.