a)

Rozwiążemy nierówność 

$\frac{1}{2^x}>16,x\in \mathbb{R}$  

Korzystając z praw działań na potęgach zapisujemy liczby po lewej i prawej stronie nierówności w postaci potęgi o podstawie 2:

$2^{-x}>2^4$  

Podstawą potęgi jest liczba większa od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności pozostawiamy bez zmiany (korzystamy z faktu, że funkcja wykładnicza postaci y=a^x gdzie a>1, jest rosnąca), czyli mamy 

$-x>4\mid :\left(-1\right)$  

$x<-4$  

więc zbiór rozwiązań nierówności jest postaci 

$x\in \left(-\infty ,-4\right)$  

---

b)

Rozwiążemy nierówność

${0,6}^{2x}\le 2\frac{7}{9},x\in \mathbb{R}$  

Przekształcamy obie strony nierówności korzystając z praw działań na potęgach i otrzymujemy

${\left(\frac{3}{5}\right)}^{2x}\le \frac{25}{9}$  

${\left(\frac{3}{5}\right)}^{2x}\le {\left(\frac{5}{3}\right)}^2$  

${\left(\frac{5}{3}\right)}^{-2x}\le {\left(\frac{5}{3}\right)}^2$  

Podstawą potęgi jest liczba większa od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności pozostawiamy bez zmiany (korzystamy z faktu, że funkcja wykładnicza postaci y=a^x gdzie a>1, jest rosnąca), czyli mamy 

$-2x\le 2\mid :\left(-2\right)$  

$x\ge -1$  

więc zbiór rozwiązań nierówności jest postaci 

$x\in ⟨-1,+\infty )$  

---

c)

Rozwiążemy nierówność

${\left(\frac{3}{4}\right)}^{x-2}>-{\left(\frac{4}{3}\right)}^0,x\in \mathbb{R}$  

Przekształcamy obie strony nierówności korzystając z praw działań na potęgach i otrzymujemy

${\left(\frac{3}{4}\right)}^{x-2}>-1$  

Zauważmy, że zbiorem wartości funkcji wykładniczej 

$y={\left(\frac{3}{4}\right)}^{x-2}$  

jest przedział (0,+oo), czyli dla każdej liczby rzeczywistej x zachodzi 

${\left(\frac{3}{4}\right)}^{x-2}>0$  

zatem nierówność 

${\left(\frac{3}{4}\right)}^{x-2}>-1$  

jest prawdziwa dla

$x\in \mathbb{R}$  

---

d)

Rozwiążemy nierówność 

${0,8}^{2x-1}\ge {1,25}^{x+2},x\in \mathbb{R}$   

Przekształcamy obie strony nierówności korzystając z praw działań na potęgach i otrzymujemy

${\left(\frac{4}{5}\right)}^{2x-1}\ge {\left(\frac{5}{4}\right)}^{x+2}$  

${\left(\frac{4}{5}\right)}^{2x-1}\ge {\left(\frac{4}{5}\right)}^{-\left(x+2\right)}$  

${\left(\frac{4}{5}\right)}^{2x-1}\ge {\left(\frac{4}{5}\right)}^{-x-2}$  

Podstawą potęgi jest liczba mniejsza od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności zmieniamy na przeciwny (korzystamy z faktu, że funkcja wykładnicza postaci y=a^x gdzie 0<a<1, jest malejąca), czyli mamy 

$2x-1\le -x-2\mid +x+1$  

$3x\le -1\mid :3$  

$x\le -\frac{1}{3}$  

więc zbiór rozwiązań nierówności jest postaci 

$x\in (-\infty ,-\frac{1}{3}⟩$  

---

e)

Rozwiążemy nierówność 

${\left(\sqrt[3]{\frac{49}{81}}\right)}^{x-4}<{\left(\frac{7}{9}\right)}^{3x},x\in \mathbb{R}$  

Przekształcamy obie strony nierówności korzystając z praw działań na potęgach i otrzymujemy

${\left(\sqrt[3]{{\left(\frac{7}{9}\right)}^2}\right)}^{x-4}<{\left(\frac{7}{9}\right)}^{3x}$  

${\left({\left(\frac{7}{9}\right)}^{\frac{2}{3}}\right)}^{x-4}<{\left(\frac{7}{9}\right)}^{3x}$  

${\left(\frac{7}{9}\right)}^{\frac{2}{3}\cdot \left(x-4\right)}<{\left(\frac{7}{9}\right)}^{3x}$

${\left(\frac{7}{9}\right)}^{\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}}<{\left(\frac{7}{9}\right)}^{3x}$    

Podstawą potęgi jest liczba mniejsza od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności zmieniamy na przeciwny (korzystamy z faktu, że funkcja wykładnicza postaci y=a^x gdzie 0<a<1, jest malejąca), czyli mamy 

$\frac{2}{3}x-\frac{8}{3}>3x$  

$-\frac{7}{3}x>\frac{8}{3}\mid :\left(-\frac{7}{3}\right)$  

$x<-\frac{8}{7}=-1\frac{1}{7}$  

więc zbiór rozwiązań nierówności jest postaci 

$x\in \left(-\infty ,-1\frac{1}{7}\right)$  

---

f)

Rozwiążemy nierówność 

$\frac{1}{25}\cdot {\left(\sqrt{5}\right)}^{3-4x}\le {0,04}^{x+1},x\in \mathbb{R}$   

Przekształcamy obie strony nierówności korzystając z praw działań na potęgach i otrzymujemy

$\frac{1}{5^2}\cdot {\left(5^{\frac{1}{2}}\right)}^{3-4x}\le {\left(\frac{1}{25}\right)}^{x+1}$  

$5^{-2}\cdot 5^{\frac{1}{2}\cdot \left(3-4x\right)}\le {\left(\frac{1}{5^2}\right)}^{x+1}$  

$5^{-2}\cdot 5^{\frac{3}{2}-2x}\le {\left(5^{-2}\right)}^{x+1}$  

$5^{-2+\frac{3}{2}-2x}\le 5^{-2\left(x+1\right)}$  

$5^{-\frac{1}{2}-2x}\le 5^{-2x-2}$  

Podstawą potęgi jest liczba większa od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności pozostawiamy bez zmiany (korzystamy z faktu, że funkcja wykładnicza postaci y=a^x gdzie a>1, jest rosnąca), czyli mamy 

$-\frac{1}{2}-2x\le -2x-2\mid +2x$  

$-\frac{1}{2}\le -2$  

sprzeczność, czyli nierówność nie ma rozwiązania (jest sprzeczna).