a)

O nieskończonym ciągu arytmetycznym (a_n), n ∈ N₊, wiadomo, że 

• $a_1=4$  
• $a_2=3\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{2x-4}=3\cdot {\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^{2x-4}=3\cdot 2^{\frac{1}{2}\cdot \left(2x-4\right)}=3\cdot 2^{x-2}$  
• $a_3=\frac{5}{2^{2-x}}=\frac{5}{2^{-\left(x-2\right)}}=\frac{5}{{\left(2^{-1}\right)}^{x-2}}=\frac{5}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^{x-2}}=5\cdot 2^{x-2}$

Korzystając z zależności między trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego dostajemy 

$a_2=\frac{a_1+a_3}{2}$  

$3\cdot 2^{x-2}=\frac{4+5\cdot 2^{x-2}}{2}\mid \cdot 2$  

$6\cdot 2^{x-2}=4+5\cdot 2^{x-2}\mid -5\cdot 2^{x-2}$  

$6\cdot 2^{x-2}-5\cdot 2^{x-2}=4$  

$2^{x-2}\left(6-5\right)=4$  

$2^{x-2}\cdot 1=2^2$  

$2^{x-2}=2^2$  

porównując wykładniki potęg dostajemy, że 

$x-2=2$  

$\underline{\underline{x=4}}$  

---

b)

Z obliczeń z podpunktu a) wiemy, że x = 4, czyli

• $a_2=3\cdot 2^{x-2}=3\cdot 2^{4-2}=3\cdot 2^2=3\cdot 4=12$  

Znając wartości dwóch pierwszych wyrazów wyznaczamy różnicę r tego ciągu 

• $r=a_2-a_1=12-4=8$  

Na koniec zapisujemy wyraz ogólny ciągu 

$a_n=a_1+\left(n-1\right)\cdot r=4+\left(n-1\right)\cdot 8=4+8n-8=8n-4$  

czyli

$\underline{\underline{a_n=8n-4,n\in {\mathbb{N}}_{+}}}$  

---

c)

Korzystając ze wzoru ogólnego wyznaczamy dziesiąty wyraz ciągu

• $a_{10}=8\cdot 10-4=80-4=76$  

Wyznaczamy sumę 10 początkowych wyrazów ciągu (a_n) 

(korzystamy ze wzoru na sumę n ∈ N₊ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego)

$S_{10}=\frac{a_1+a_{10}}{2}\cdot 10=\frac{4+76}{2}\cdot 10=80\cdot 5=400$  

czyli 

$\underline{\underline{S_{10}=400}}$