Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Zauważmy, że otrzymany przekrój jest prostokątem.

 

Obliczymy długość przekątnej prostopadłościanu, czyli długość odcinka AC₁.

 

Z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt BCC₁):

${\left|B{C}_1\right|}^2=b^2+c^2$  

Stąd:

$\left|B{C}_1\right|=\sqrt{b^2+c^2}$  

 

Z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt ABC₁):

${\left|A{C}_1\right|}^2=a^2+{\left|B{C}_1\right|}^2$  

${\left|A{C}_1\right|}^2=a^2+b^2+c^2$  

Stąd:

$\underline{\left|A{C}_1\right|=\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$  

 

Wiemy, że objętość prostopadłościanu jest równa 144 cm³:

$abc=144\left(\text{*}\right)$  

 

Wiemy, że pole prostokąta ABCD jest równe 12 cm²:

$ab=12$  

Stąd:

$b=\frac{12}{a}$  

 

Podstawiamy ab=12 do (*) i otrzymujemy:

$12\cdot c=144\mid :12$  

$c=12$  

 

Wiemy, że pole przekroju jest równe 12√10 cm²:

$a\cdot \underset{|B{C}_1|}{\underbrace{\sqrt{b^2+c^2}}}=12\sqrt{10}$  

$a\cdot \sqrt{{\left(\frac{12}{a}\right)}^2+{12}^2}=12\sqrt{10}$  

Podnosimy obie strony do kwadratu (obie strony są dodatnie):

$a^2\cdot \left({\left(\frac{12}{a}\right)}^2+{12}^2\right)={\left(12\sqrt{10}\right)}^2$  

$a^2\cdot \left(\frac{144}{a^2}+144\right)=144\cdot 10$  

$144+144a^2=1440\mid :144$  

$1+a^2=10$  

$a^2=10-1$  

$a^2=9$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$a=\sqrt{9}$  

$a=3$  

 

Stąd:

$b=\frac{12}{3}=4$  

 

Zatem:

$\left|A{C}_1\right|=\sqrt{3^2+4^2+{12}^2}=\sqrt{9+16+144}=\sqrt{169}=\underline{\underline{13\left[\text{cm}\right]}}$