Przypomnijmy, że funkcja logarytmiczna   $y={\log }_{a}x\text{gdzie}a\in {\mathbb{R}}_{+}\backslash \left\{1\right\},x>0$   jest rosnąca, gdy  $a\in \left(1,\infty \right)$   jest malejąca, gdy  $a\in \left(0,1\right)$

---

a)

Zapisujemy liczby a, b  i c jako logarytmy o tej samej podstawie. Mamy:

$a={\log }_{\frac{1}{2}}\left(\sqrt{5}-1\right)+{\log }_{\frac{1}{2}}\left(\sqrt{5}+1\right)=\dots$  

Korzystamy ze wzoru na sumę logarytmów o takiej samej podstawie i otrzymujemy:

  $\dots ={\log }_{\frac{1}{2}}\left[\left(\sqrt{5}-1\right)\left(\sqrt{5}+1\right)\right]={\log }_{\frac{1}{2}}\left[{\left(\sqrt{5}\right)}^2-1^2\right]={\log }_{\frac{1}{2}}\left(5-1\right)=\underline{\underline{{\log }_{\frac{1}{2}}4}}$  

Przekształcamy liczbę b:

$b={\log }_{\frac{1}{2}}12={\log }_{\frac{1}{2}}3=\dots$  

Korzystamy ze wzoru na różnicę logarytmów o takiej samej podstawie i otrzymujemy:

$\dots ={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{12}{2}=\underline{\underline{{\log }_{\frac{1}{2}}6}}$  

Przekształcamy liczbę c:

$c=2{\log }_{\frac{1}{2}}\left(\sqrt{2}+1\right)={\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\sqrt{2}+1\right)}^2={\log }_{\frac{1}{2}}\left({\left(\sqrt{2}\right)}^2+2\cdot \sqrt{2}\cdot 1+1^2\right)=$  

$={\log }_{\frac{1}{2}}\left(2+2\sqrt{2}+1\right)=\underline{\underline{{\log }_{\frac{1}{2}}\left(3+2\sqrt{2}\right)}}$  

Funkcja logarytmiczna  y=log_½x jest malejąca, ponieważ podstawa logarytmu jest mniejsza od 1. Zatem dla mniejszych argumentów przyjmuje większe wartości. 

Zauważmy, że

$3+2\sqrt{2}\approx 3+2\cdot 1,41=5,82<6$  

Ponieważ 

$6>3+2\sqrt{2}>4$  

to

${\log }_{\frac{1}{2}}6<{\log }_{\frac{1}{2}}\left(3+2\sqrt{2}\right)<{\log }_{\frac{1}{2}}4$  

Zatem

$\underline{\underline{b<c<a}}$  

---

b)

Mamy naszkicować wykres funkcji

$y=3-{\log }_{\frac{1}{2}}\left(-x\right)$

Dziedziną tej funkcji jest zbiór : $D=\left(-\infty ,0\right)$  

Aby naszkicować wykres tej funkcji, przekształcimy wykres funkcji logarytmicznej f(x)=log_½x  w symetrii środkowej względem punktu (0,0). W ten sposób otrzymamy wykres funkcji y=-log_½(-x). Otrzymany wykres przesuwamy równolegle o wektor [0, 3]  i w ten sposób otrzymujemy wykres funkcji y=3-log_½(-x).  Przekształcenia możemy zapisać symbolicznie:

$f\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{2}}x\stackrel{S_{\left(0,0\right)}}{\to }y=-\log \left(-x\right)\stackrel{\overrightarrow{u}=\left[0,3\right]}{\to }y=3-\log \left(-x\right)$

 

Wyznaczamy wartości funkcji logarytmicznej  f(x)=log_½x  dla kilku wybranych argumentów. Mamy:

$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$
$y={\log }_{\frac{1}{2}}x$	$2$	$1$	$0$	$-1$	$-2$