Przypomnijmy podstawowe własności logarytmów i prawa działań na logarytmach: $\text{Jez˙eli}a\in {\mathbb{R}}_{+}\backslash \left\{1\right\},b\in {\mathbb{R}}_{+}\backslash \left\{1\right\},r\in \mathbb{R},\text{oraz}x>0,y>0\text{to}$ : $1.{\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a\left(x\cdot y\right)$   $2.{\log }_{a}x-{\log }_{a}y={\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)$   $3.r\cdot {\log }_{a}x={\log }_a{x}^r$   $4.{\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$   $5.{\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$   $6.a^{{\log }_{a}b}=b$

---

W zadaniu mamy podane:

$x=\log 0,6+\log 16\frac{2}{3}$  

$y=4^{{\log }_{2}3}$  

---

Doprowadźmy liczby x oraz y do najprostszej postaci

Przy obliczeniu liczby x korzystamy ze wzoru na sumę logarytmów o takiej samej podstawie (wzór 1.) Mamy:

$x=\log \frac{3}{5}+\log \frac{50}{3}=\log \left(\frac{3}{5}\cdot \frac{50}{3}\right)=\log 10=1$

Przy obliczeniu liczby y stosujemy wzór (3) oraz (6). 

$y=4^{{\log }_{2}3}={\left(2^2\right)}^{{\log }_{2}3}=2^{2{\log }_{2}3}=2^{{\log }_2{3}^2}=3^2=9$  

---

Iloraz liczb x i y wynosi:

$\frac{x}{y}=\underline{\underline{\frac{1}{9}}}$  

---

Prawidłową odpowiedzią jest odpowiedź D.