Przypomnijmy, że $\text{Jez˙eli}a\in \left(0,1\right)\cup \left(1,\infty \right)\text{oraz}{x}_1\in \mathbb{R},x_2\in \mathbb{R}\text{to}$     $a^{x_1}=a^{x_2}\iff x_1=x_2$

---

a)

Rozwiązujemy równanie

$3^x\cdot {\left(\frac{1}{3}\right)}^{x-3}={\left(\frac{1}{27}\right)}^x$    

Dziedziną równania jest 

$D=\mathbb{R}$  

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 3.

$3^x\cdot {\left(3^{-1}\right)}^{x-3}={\left(3^{-3}\right)}^x$     

$3^x\cdot 3^{-x+3}=3^{-3x}$  

$3^{x-x+3}=3^{-3x}$    

$3^3=3^{-3x}$   

Porównujemy wykładniki:

$3=-3x$  

  $-3x=3\mid :\left(-3\right)$  

Otrzymujemy

$\underline{\underline{x=-1}}$  

---

b)

Rozwiązujemy równanie

$8^{\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}}=2\cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^{3x}$  

Dziedziną równania jest 

$D=\mathbb{R}$  

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 2.

${\left(2^3\right)}^{\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}}=2^1\cdot {\left(2^{\frac{1}{2}}\right)}^{3x}$  

$2^{3\cdot \left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}\right)}=2^1\cdot 2^{\frac{1}{2}\cdot 3x}$  

$2^{\frac{3}{2}x+1}=2^1\cdot 2^{\frac{3}{2}x}$  

$2^{\frac{3}{2}x+1}=2^{\frac{3}{2}x+1}$  

Porównujemy wykładniki:

$\frac{3}{2}x+1=\frac{3}{2}x+1$  

Zauważmy, że lewa strona równania jest taka sama, jak prawa strona. Oznacza to, że równanie jest tożsamościowe.

Otrzymujemy

$x\in \mathbb{R}$  

---

c)

Rozwiązujemy równanie

$\frac{4^{x^2+4}}{16}={\left(\frac{1}{64}\right)}^{-1}$  

Dziedziną równania jest 

$D=\mathbb{R}$  

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 4.

$\frac{4^{x^2+4}}{4^2}={\left(4^{-3}\right)}^{-1}$  

$\frac{4^{x^2+4}}{4^2}=4^{\left(-3\right)\cdot \left(-1\right)}$  

$4^{x^2+4-2}=4^3$  

$4^{x^2+2}=4^3$  

Porównujemy wykładniki:

$x^2+2=3$  

$x^2=1$  

$x=1\vee x=-1$  

Otrzymujemy:

$\underline{\underline{x\in \left\{-1,1\right\}}}$  

---

d)

Rozwiązujemy równanie

$0,4\cdot {\left(\frac{5}{2}\right)}^{\frac{2}{x-3}}={2,5}^{-\frac{1}{3}}$

Aby wykładnik po lewej stronie równania był określony, zakładamy, że

$x-3\ne 0$  

$x\ne 3$  

Dziedziną równania jest 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{3\right\}$  

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie.

$\frac{2}{5}\cdot {\left({\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1}\right)}^{\frac{2}{x-3}}={\left(\frac{5}{2}\right)}^{-\frac{1}{3}}$

$\frac{2}{5}\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1\cdot \frac{2}{x-3}}={\left({\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1}\right)}^{-\frac{1}{3}}$

${\left(\frac{2}{5}\right)}^1\cdot {\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1\cdot \frac{2}{x-3}}={\left(\frac{2}{5}\right)}^{-1\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)}$

${\left(\frac{2}{5}\right)}^{1-\frac{2}{x-3}}={\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{1}{3}}$

Porównujemy wykładniki:

$1-\frac{2}{x-3}=\frac{1}{3}$  

$\frac{x-3-2}{x-3}=\frac{1}{3}$  

$\frac{x-5}{x-3}=\frac{1}{3}$

Korzystamy z własności proporcji i otrzymujemy:

$\left(x-5\right)\cdot 3=x-3$   

$3x-15=x-3$  

$2x=12\mid :2$  

$x=6\in D$  

Otrzymujemy:

$\underline{\underline{x=6}}$  

---

e)

Rozwiązujemy równanie

$\frac{3^{x+1}}{81}={\left(\frac{1}{9}\right)}^{\frac{x-1}{x}}$  

Aby wykładnik potęgi po prawej stronie równania był określony, zakładamy, że

$x\ne 0$  

Dziedziną równania jest 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{0\right\}$  

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 3.

$\frac{3^{x+1}}{3^4}={\left(3^{-2}\right)}^{\frac{x-1}{x}}$  

$3^{x+1-4}=3^{-2\cdot \frac{x-1}{x}}$  

$3^{x-3}=3^{-\frac{2x-2}{x}}$  

Porównujemy wykładniki:

$x-3=-\frac{2x-2}{x}$  

$x-3+\frac{2x-2}{x}=0$  

$\frac{x^2-3x}{x}+\frac{2x-2}{x}=0$

$\frac{x^2-3x+2x-2}{x}=0$  

$\frac{x^2-x-2}{x}=0$  

$x^2-x-2=0$  

  $\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9\sqrt{\Delta }=3$  

$x_1=\frac{1-3}{2\cdot 1}=\frac{-2}{2}=-1\in D$  

$x_2=\frac{1+3}{2\cdot 1}=\frac{4}{2}=2\in D$  

Otrzymujemy:

$\underline{\underline{x\in \left\{-1,2\right\}}}$  

---

f)

Rozwiązujemy równanie

$\frac{{\left(\sqrt[3]{25}\right)}^{\frac{x}{2}}}{\sqrt{5}}={\left(\sqrt[4]{0,04}\right)}^{1-x^2}$  

Dziedziną równania jest 

$D=\mathbb{R}$  

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 5.

$\frac{{\left(\sqrt[3]{5^2}\right)}^{\frac{x}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}={\left(\sqrt[4]{\frac{1}{25}}\right)}^{1-x^2}$  

$\frac{{\left(5^{\frac{2}{3}}\right)}^{\frac{x}{2}}}{5^{\frac{1}{2}}}={\left(\sqrt[4]{5^{-2}}\right)}^{1-x^2}$  

$\frac{5^{\frac{\cancel{2}}{3}\cdot \frac{x}{\cancel{2}}}}{5^{\frac{1}{2}}}={\left(5^{-\frac{2}{4}}\right)}^{1-x^2}$  

$\frac{5^{\frac{x}{3}}}{5^{\frac{1}{2}}}=5^{-\frac{1}{2}\cdot \left(1-x^2\right)}$  

$5^{\frac{x}{3}-\frac{1}{2}}=5^{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{x}^2}$  

Porównujemy wykładniki:

$\frac{x}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}{x}^2\mid \cdot 6$  

$2x-3=-3+3x^2$  

$3x^2-2x=0$  

Wyłączamy niewiadomą x przed nawias i mamy:

$x\left(3x-2\right)=0$   

$x=0\vee 3x-2=0$  

$x=0\vee 3x=2$  

$x=0\vee x=\frac{2}{3}$  

Otrzymujemy:

$\underline{\underline{x\in \left\{0,\frac{2}{3}\right\}}}$  

---