Przypomnijmy, że pole powierzchni całkowitej graniastosłupa Pc jest równe sumie podwojonego pola podstawy Pp i pola powierzchni bocznej Pb graniastosłupa. $P_c=2P_p+P_b$   objętość V graniastosłupa jest równa iloczynowi pola podstawy Pp i wysokości H graniastosłupa  $V=P_p\cdot H$

---

Z treści zadania wiemy, że jedna z krawędzi prostopadłościanu ma długość 5 cm, a stosunek długości dwóch pozostałych krawędzi jest równy  3 : 2. Oznacza to, że długości dwóch pozostałych krawędzi można zapisać jako 3x i 2x, gdzie x jest pewną dodatnią liczbą rzeczywistą.

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Przyjmujemy oznaczenia takie jak na rysunku. 

Rysunek: 

Z treści zadania wiemy, że pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu wynosi

$P_c=392{\text{cm}}^2$  

Powierzchnia prostopadłościanu składa się z trzech par przystających ścian. Korzystając z oznaczeń z rysunku, możemy zapisać, że pole całkowite prostopadłościanu wyraża się wzorem

$P_c=2\cdot 3x\cdot 2x+2\cdot 3x\cdot 5+2\cdot 2x\cdot 5=12x^2+30x+20x=12x^2+50x$  

Zatem 

$12x^2+50x=392$  

$12x^2+50x-392=0\mid :2$  

$6x^2+25x-196=0$  

Rozwiązujemy równanie kwadratowe. Zakładamy, że x > 0.

$\Delta ={25}^2-4\cdot 6\cdot \left(-196\right)=625+24\cdot 196=625+4704=5329$

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{5329}=73$  

$x_1=\frac{-25-73}{2\cdot 6}=-\frac{98}{12}\le 0$  

$x_2=\frac{-25+73}{12}=\frac{48}{12}=\underline{\underline{4}}>0$  

Otrzymaliśmy, że

$x=4$  

---

Zatem krawędzie podstawy ABCD mają długość 

$|AB|=3\cdot 4=12\text{cm}$  

$|CD|=2\cdot 4=8\text{cm}$  

wobec tego pole podstawy jest równe

$P_p=12\cdot 8=96{\text{cm}}^2$  

---

Korzystamy ze wzoru na objętość graniastosłupa i otrzymujemy

$V=P_p\cdot H=96{\text{cm}}^2\cdot 5\text{cm}=\underline{\underline{480}}{\text{cm}}^3$