Twierdzenie o trzech prostych prostopadłych: Jeśli prosta k przebija płaszczyznę 𝜋  i nie jest do niej prostopadła, prosta k1 jest rzutem prostokątnym prostej k na płaszczyznę 𝜋, prosta m leży na płaszczyźnie 𝜋, to prosta m jest prostopadła do prostej k wtedy i tylko wtedy, gdy jest prostopadła do prostej k1.

---

Z treści zadania wiemy, że:

na płaszczyźnie 𝜋 dana jest prosta DE oraz punkt A nienależący do tej prostej. 

Ponadto:

$\left|AD\right|=12\text{cm}$  

$\left|AE\right|=13\text{cm}$  

$AB\perp \pi ,\left|AB\right|=16\text{cm}$  

Wykonujemy rysunek pomocniczy.

Rysunek: 

---

Z treści zadania wiemy, że odległość  punktu A od prostej DE jest równa odległości punktu A od prostej D, zatem odcinek AD jest prostopadły do prostej DE, a to oznacza, że trójkąt ADE jest prostokątny.

Zauważmy, że prosta AD jest rzutem prostokątnym prostej BD na płaszczyznę 𝜋. Wiemy, że prosta AD jest prostopadła do prostej DE, zatem na mocy twierdzenia o trzech prostych prostopadłych do prostej DE jest również prostopadła prosta BD. Oznacza to, że

$\left|\sphericalangle BDE\right|={90}^{\circ }$  

 czyli trójkąt BDE jest prostokątny. 

Z Twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta BAD mamy:

${16}^2+{12}^2={\left|BD\right|}^2$  

$256+144={\left|BD\right|}^2$  

${\left|BD\right|}^2=400$  

Stąd

$\left|BD\right|=20$  

Z Twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta ADE mamy:

${12}^2+{\left|DE\right|}^2={13}^2$  

$144+{\left|DE\right|}^2=169$  

${\left|DE\right|}^2=169-144=25$  

Stąd

$\left|DE\right|=5$  

---

Trójkąt ADE jest prostokątny. Jego przyprostokątnymi są boki AD i DE, więc pole tego trójkąta jest równe:

$P_{\Delta ADE}=\frac{\left|AD\right|\cdot \left|DE\right|}{2}=\frac{20\cdot 5}{2}=\frac{100}{2}=50{\text{cm}}^2$