Przypomnijmy, że : aby określić kąt pomiędzy prostymi skośnymi k i m : Wybieramy w przestrzeni dowolny punkt P. Przez punkt P prowadzimy: prostą k1 - równoległą do prostej k oraz prostą m1 - równoległą do prostej m. Kąt między przecinającymi się prostymi k1 i m1 nie większy od kąta prostego nazywamy kątem między prostymi skośnymi k i m.

---

Wykażemy, że proste BP i C₁Q w poniższym sześcianie są prostopadłe.

Wybieramy punkt C  i prowadzimy przez ten punkt  prostą równoległą do prostej C₁Q_. Przecina ona krawędź AB w punkcie Q', który jest jej środkiem. 

Rysunek: 

Kąt pomiędzy prostymi C₁Q i BP będzie równy kątowi między prostymi BP i CQ'.  

---

Sporządzamy rysunek pomocniczy. Rysujemy kwadrat ABCD i zaznaczamy w nim odcinki PB i CQ'.  Punkt O jest punktem przecięcia tych odcinków.

Rysunek:

 

Niech 

$\left|AB\right|=\left|BC\right|=2x$

Wtedy

$\left|AQ{}^{\prime }\right|=\left|Q{}^{\prime }B\right|=\left|AP\right|=x$  

Zauważmy, że trójkąt △PAB jest przystający do trójkąta △Q'BP  (na mocy cechy bok - kąt - bok), ponieważ

$\left|AP\right|=\left|Q{}^{\prime }B\right|=x$  

$\left|\sphericalangle PAB\right|=\left|\sphericalangle Q{}^{\prime }BC\right|={90}^{\circ }$  

$\left|AB\right|=\left|BC\right|=2x$  

Stąd te trójkąty mają kąty tej samej miary:

$\left|\sphericalangle APB\right|=\left|\sphericalangle CQ{}^{\prime }B\right|=\alpha$  

$\left|\sphericalangle PBA\right|=\left|\sphericalangle BCQ{}^{\prime }\right|=\beta$  

Zauważmy, że  z miar kątów trójkąta △ABP wynika, że

$\alpha +\beta ={90}^{\circ }$  

Spójrzmy na trójkąt △BOQ'

Z sumy miar kątów w tym trójkącie mamy:

$\left|\sphericalangle BOQ{}^{\prime }\right|+\underset{{90}^{\circ }}{\underbrace{\alpha +\beta }}={180}^{\circ }$  

Stąd:

$\left|\sphericalangle BOQ{}^{\prime }\right|={180}^{\circ }-{90}^{\circ }=\underline{\underline{{90}^{\circ }}}$  

Zatem proste BP i CQ', czyli również proste BP i CQ są prostopadłe, co kończy dowód. ▊