Przypomnijmy najważniejsze własności potęg o wykładnikach rzeczywistych. Jeżeli a, b są dodatnimi liczbami rzeczywistymi oraz x, y - dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to: $1)a^x\cdot a^y=a^{x+y}$ $2)a^x:a^y=a^{x-y}$   $3){\left(a^x\right)}^y=a^{x\cdot y}$    $4)a^x\cdot b^x={\left(a\cdot b\right)}^x$ $\text{5)}\frac{a^x}{b^x}={\left(\frac{a}{b}\right)}^x$

---

a) 

$\frac{\left(5^4\cdot 5^9\right):5^{10}}{{\left(2\cdot 5\right)}^3}=\frac{5^{4+9}:5^{10}}{2^3\cdot 5^3}=\frac{5^{13}:5^{10}}{8\cdot 5^3}=\frac{5^{13-10}}{8\cdot 5^3}=\frac{\cancel{5^3}}{8\cdot \cancel{5^3}}=\underline{\underline{\frac{1}{8}}}$  

---

b) 

Liczby z mianownika przedstawiamy jako potęgi liczby 3 i następnie korzystamy z praw działań na potęgach.

$\frac{{\left(3^{-2}\right)}^9:3^{-5}}{{27}^{-1}\cdot {81}^{-2}}=\frac{{\left(3^{-2}\right)}^9:3^{-5}}{{\left(3^3\right)}^{-1}\cdot {\left(3^4\right)}^{-2}}=\frac{3^{-2\cdot 9}:3^{-5}}{3^{3\cdot \left(-1\right)}\cdot 3^{4\cdot \left(-2\right)}}=\frac{3^{-18}\cdot 3^{-5}}{3^{-3}\cdot 3^{-8}}=\frac{3^{-18-\left(-5\right)}}{3^{-3-8}}=$

$=\frac{3^{-13}}{3^{-11}}=3^{-13-\left(-11\right)}=3^{-2}={\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\underline{\underline{\frac{1}{9}}}$

---

c) 

Liczby z mianownika przedstawiamy jako potęgi liczby 2 i następnie korzystamy z praw działań na potęgach.

$\frac{{\left(\sqrt[3]{2}\right)}^2\cdot 8^{\frac{4}{3}}}{{0,5}^{-2}\cdot {32}^{\frac{1}{3}}}=\frac{2^{\frac{2}{3}}\cdot {\left(2^3\right)}^{\frac{4}{3}}}{{\left(2^{-1}\right)}^{-2}\cdot {\left(2^5\right)}^{\frac{1}{3}}}=\frac{2^{\frac{2}{3}}\cdot 2^{3\cdot \frac{4}{3}}}{2^{-1\cdot \left(-2\right)}\cdot 2^{5\cdot \frac{1}{3}}}=\frac{2^{\frac{2}{3}+4}}{2^{2+\frac{5}{3}}}=\frac{2^{\frac{14}{3}}}{2^{\frac{11}{3}}}=2^{\frac{14}{3}-\frac{11}{3}}=2^1=\underline{\underline{2}}$  

---

d) 

Zauważmy, że 84=4∙21.

$10:{21}^{\frac{1}{2}}\cdot {84}^{0,5}=10:{21}^{\frac{1}{2}}\cdot {\left(4\cdot 21\right)}^{\frac{1}{2}}=10:{21}^{\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{2}}\cdot {21}^{\frac{1}{2}}$  

Korzystamy z praw działań na potęgach i mamy

$10\cdot {21}^{-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}}\cdot 4^{\frac{1}{2}}=10\cdot {21}^0\cdot \sqrt{4}=10\cdot 1\cdot 2=\underline{\underline{20}}$

---

e) 

${40}^{\frac{2}{3}}:5^{\frac{11}{6}}\cdot 5^{\frac{7}{6}}={\left(8\cdot 5\right)}^{\frac{2}{3}}:5^{\frac{11}{6}}\cdot 5^{\frac{7}{6}}={\left(2^3\cdot 5\right)}^{\frac{2}{3}}:5^{\frac{11}{6}}\cdot 5^{\frac{7}{6}}={\left(2^3\right)}^{\frac{2}{3}}\cdot 5^{\frac{2}{3}}:5^{\frac{11}{6}}\cdot 5^{\frac{7}{6}}=$  

$=2^{3\cdot \frac{2}{3}}\cdot 5^{\frac{2}{3}-\frac{11}{6}+\frac{7}{6}}=2^2\cdot 5^{\frac{4}{6}-\frac{11}{6}+\frac{7}{6}}=4\cdot 5^0=4\cdot 1=\underline{\underline{4}}$  

---

f) 

Sprowadzamy wyrażenie w nawiasie do potęgi liczby 3, a następnie stosujemy prawa działań na potęgach.

${\left(3^{-\frac{4}{3}}:9^{-\frac{3}{2}}\cdot \frac{1}{81}\right)}^{-\frac{6}{7}}={\left(3^{-\frac{4}{3}}:{\left(3^2\right)}^{-\frac{3}{2}}\cdot \left(3^{-4}\right)\right)}^{-\frac{6}{7}}={\left(3^{-\frac{4}{3}}:3^{2\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)}\cdot 3^{-4}\right)}^{-\frac{6}{7}}=$

$={\left(3^{-\frac{4}{3}-\left(-3\right)-4}\right)}^{-\frac{6}{7}}={\left(3^{-\frac{7}{3}}\right)}^{-\frac{6}{7}}=3^{-\frac{7}{3}\cdot \left(-\frac{6}{7}\right)}=3^2=\underline{\underline{9}}$