Przypomnijmy, że $\text{Jez˙eli}a\in \left(0,1\right),x_1\in {\mathbb{R}}_{+},x_2\in {\mathbb{R}}_{+},\text{to}$   ${\log }_a{x}_1<{\log }_a{x}_2\iff x_1>x_2$   $\text{Jez˙eli}a\in \left(1,\infty \right),x_1\in {\mathbb{R}}_{+},x_2\in {\mathbb{R}}_{+},\text{to}$     ${\log }_a{x}_1<{\log }_a{x}_2\iff x_1<x_2$

---

a) 

Rozwiążemy nierówność:

${\log }_{0,75}{x}^2\le {\log }_{0,75}\left(x+2\right)$  

Wyznaczamy dziedzinę nierówności. Zakładamy, że

$x^2>0\wedge x+2>0$  

$x\ne 0\wedge x>-2$  

Zatem dziedziną jest zbiór:

$D=\left(-2,0\right)\cup \left(0,\infty \right)$  

Rozwiązujemy teraz nierówność:

${\log }_{0,75}{x}^2\le {\log }_{0,75}\left(x+2\right)$  

Podstawy obu logarytmów są mniejsze od 1, zatem porównując liczby logarytmowane, znak nierówności zmieniamy na przeciwny. Mamy:

$x^2\ge x+2$  

$x^2-x-2\ge 0$  

Rozwiązujemy nierówność kwadratową. Obliczamy pierwiastki trójmianu, szkicujemy parabolę i odczytujemy zbiór rozwiązań.

$x^2-x-2=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-2\right)=1+8=9=3^2$  

$\sqrt{\Delta }=3$  

$x_1=\frac{1-3}{2}=-1$  

$x_2=\frac{1+3}{2}=2$  

$x\in (-\infty ,-1⟩\cup ⟨2,\infty )$  

Uwzględniamy dziedzinę nierówności i mamy:

$x\in (-\infty ,-1⟩\cup ⟨2,\infty )\wedge x\in \left(-2,0\right)\cup \left(0,\infty \right)$  

Zatem 

$\underline{\underline{x\in (-2,-1⟩\cup ⟨2,\infty )}}$  

---

b) 

Rozwiążemy nierówność:

${\log }_3\left(x^2+4x+4\right)<2$  

Wyznaczamy dziedzinę nierówności. Zakładamy, że

$x^2+4x+4>0$  

Zauważmy, że korzystając ze wzoru skróconego mnożenia na kwadrat sumy: (a+b)²=a²+2ab+b², otrzymujemy:

${\left(x+2\right)}^2>0$  

Kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny, zatem nierówność jest równoważna:

${\left(x+2\right)}^2\ne 0$  

$x+2\ne 0$   

$x\ne -2$  

Zatem dziedziną jest zbiór:

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}$  

Rozwiązujemy teraz nierówność:

${\log }_3\left(x^2+4x+4\right)<2$  

Zauważamy, że:

$x^2+4x+4={\left(x+2\right)}^2={\left|x+2\right|}^2$  

Zatem nierówność sprowadza się do postaci:

  ${\log }_3{\left|x+2\right|}^2<2$   

Korzystamy z praw działań na logarytmach i mamy:

  $2{\log }_3\left|x+2\right|<2\mid :2$   

  ${\log }_3\left|x+2\right|<1$   

Zapisujemy obie strony nierówności jako logarytmy o takiej samej podstawie 3:

  ${\log }_3|x+2|<{\log }_{3}3$   

 Podstawy obu logarytmów są większe od 1, zatem porównując liczby logarytmowane, znak nierówności pozostawiamy bez zmian. Mamy:

  $|x+2|<3$   

Korzystamy z własności wartości bezwzględnej  i otrzymujemy:

$x+2<3\wedge x+2>-3$  

$x<1\wedge x>-5$  

Stąd:

$x\in \left(-5,1\right)$   

Uwzględniamy dziedzinę nierówności i mamy:

$x\in \left(-5,1\right)\wedge x\in \mathbb{R}\backslash \left\{-2\right\}$  

Zatem 

$\underline{\underline{x\in \left(-5,-2\right)\cup \left(-2,1\right)}}$  

---

c) 

Rozwiążemy nierówność:

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)+{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-2\right)\ge -2$  

Wyznaczamy dziedzinę nierówności. Zakładamy, że

$x+1>0\wedge x-2>0$  

$x>-1\wedge x>2$  

Zatem dziedziną jest zbiór:

$D=\left(2,\infty \right)$  

Rozwiązujemy teraz nierówność:

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)+{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x-2\right)\ge -2$  

Korzystamy ze wzoru na sumę logarytmów o takiej samej podstawie:

${\log }_{\frac{1}{2}}\left[\left(x+1\right)\left(x-2\right)\right]\ge -2$  

Zapisujemy obie strony nierówności jako logarytmy o takiej samej podstawie. Zauważmy, że :

$-2={\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{-2}={\log }_{\frac{1}{2}}4$  

Zatem:

${\log }_{\frac{1}{2}}\left[\left(x+1\right)\left(x-2\right)\right]\ge {\log }_{\frac{1}{2}}4$  

 Podstawy obu logarytmów są mniejsze od 1, zatem porównując liczby logarytmowane, znak nierówności zmieniamy na przeciwny. Mamy:

$\left(x+1\right)\left(x-2\right)\le 4$  

$x^2-2x+x-2\le 4$  

$x^2-x-2\le 4$  

$x^2-x-6\le 0$  

Rozwiązujemy nierówność kwadratową. Obliczamy pierwiastki trójmianu, szkicujemy parabolę i odczytujemy zbiór rozwiązań nierówności:

$x^2-x-6=0$  

$\Delta ={\left(-1\right)}^2-4\cdot 1\cdot \left(-6\right)=1+24=25=5^2$  

$\sqrt{\Delta }=5$  

$x_1=\frac{1-5}{2}=-2$  

$x_2=\frac{1+5}{2}=3$  

$x\in ⟨-2,3⟩$  

Uwzględniamy dziedzinę nierówności i mamy:

$x\in ⟨-2,3⟩\wedge x\in \left(2,\infty \right)$  

Zatem 

$\underline{\underline{x\in (2,3⟩}}$  

---

d) 

Rozwiążemy nierówność:

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(5-x\right)\ge {\log }_{\frac{1}{2}}x-2$  

Wyznaczamy dziedzinę nierówności. Zakładamy, że

$5-x>0\wedge x>0$  

$-x>-5$  

$x<5$  

Zatem dziedziną nierówności jest zbiór:

$D=\left(0,5\right)$  

Rozwiązujemy teraz nierówność:

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(5-x\right)\ge {\log }_{\frac{1}{2}}x-2$  

Zapisujemy obie strony nierówności jako logarytm o takiej samej podstawie.  Zauważmy, że 

$2={\log }_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{1}{2}\right)}^2={\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$  

Zatem:

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(5-x\right)\ge {\log }_{\frac{1}{2}}x-{\log }_{\frac{1}{2}}\frac{1}{4}$  

Stosujemy wzór na różnicę logarytmów o takiej samej podstawie i otrzymujemy:

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(\left\{5-x\right\}\right)\ge {\log }_{\frac{1}{2}}\frac{x}{\frac{1}{4}}$  

${\log }_{\frac{1}{2}}\left(5-x\right)\ge {\log }_{\frac{1}{2}}4x$  

Podstawy obu logarytmów są mniejsze od 1, zatem porównując liczby logarytmowane, znak nierówności zmieniamy na przeciwny. Mamy:

$5-x\le 4x$  

$-x-4x\le -5$  

$-5x\le -5\mid :\left(-1\right)$  

$x\ge 1$  

$x\in ⟨1,\infty )$   

Uwzględniamy dziedzinę nierówności i mamy:

$x\in ⟨1,\infty )\wedge x\in \left(0,5\right)$  

Zatem 

$\underline{\underline{x\in ⟨1,5)}}$  

---