Przypomnijmy, że: $\text{Jez˙eli}a\in \left(0,1\right)\text{i}{x}_1\in \mathbb{R},x_2\in \mathbb{R}\text{,}\text{to}$   $a^{x_1}<a^{x_2}\iff x_1>x_2$   $\text{Jez˙eli}a\in \left(1,\infty \right)\text{i}{x}_1\in \mathbb{R},x_2\in \mathbb{R}\text{,}\text{to}$   $a^{x_1}<a^{x_2}\iff x_1<x_2$

---

a)

Rozwiązujemy nierówność:

$2^{x+4}\cdot 7^{x+4}>2^{3x}\cdot 7^{3x}$  

Dziedziną nierówności jest

$D=\mathbb{R}$  

Stosujemy prawa działań na potęgach i zapisujemy obie strony nierówności jako potęgi o tej samej podstawie

${\left(2\cdot 7\right)}^{x+4}>{\left(2\cdot 7\right)}^{3x}$  

${14}^{x+4}>{14}^{3x}$  

Podstawa potęg po obu stronach nierówności jest większa od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności pozostawiamy bez zmiany.

$x+4>3x$  

$-2x>-4\mid :\left(-2\right)$

$x<2$   

Otrzymujemy rozwiązanie nierówności:

$\underline{\underline{x\in \left(-\infty ,2\right)}}$

---

b)

Rozwiązujemy nierówność:

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{x+1}\cdot {\left(\frac{4}{9}\right)}^{x+1}>8\cdot 2^{3x}$  

Dziedziną nierówności jest

$D=\mathbb{R}$  

Stosujemy prawa działań na potęgach i mamy: 

${\left(\frac{2}{3}\cdot \frac{4}{9}\right)}^{x+1}>8\cdot {\left(2^3\right)}^x$  

${\left(\frac{8}{27}\right)}^{x+1}>8\cdot 8^x$  

$\frac{8^{x+1}}{{27}^{x+1}}>8^{x+1}\mid :8^{x+1}$  

Dzielimy obie strony nierówności przez wyrażenie 8^x+1, które przyjmuje wartości dodatnie dla każdej liczby rzeczywistej x.  Otrzymujemy:

$\frac{1}{{27}^{x+1}}>1$  

${\left(\frac{1}{27}\right)}^{x+1}>{\left(\frac{1}{27}\right)}^0$  

Podstawa potęg po obu stronach nierówności jest mniejsza od 1, zatem porównując wykładniki, znak nierówności zmieniamy na przeciwny.

$x+1<0$

$x<-1$   

Otrzymujemy rozwiązanie nierówności:

$\underline{\underline{x\in \left(-\infty ,-1\right)}}$  

---

c)

Rozwiązujemy nierówność:

$\frac{4^{x-2}}{5^{4-2x}}\le {100}^{x-2}$  

Dziedziną nierówności jest

$D=\mathbb{R}$  

Stosujemy prawa działań na potęgach i zapisujemy obie strony nierówności jako potęgi o tej samej podstawie

$\frac{4^{x-2}}{5^{-2\left(x-2\right)}}\le {100}^{x-2}$  

$\frac{4^{x-2}}{{\left(5^{-2}\right)}^{x-2}}\le {100}^{x-2}$  

$\frac{4^{x-2}}{{\left(\frac{1}{25}\right)}^{x-2}}\le {100}^{x-2}$  

$4^{x-2}\cdot {25}^{x-2}\le {100}^{x-2}$  

${\left(4\cdot 25\right)}^{x-2}\le {100}^{x-2}$  

${100}^{x-2}\le {100}^{x-2}$  

Zauważmy, że obie strony nierówności są identyczne. Oznacza to, że otrzymana nierówność jest tożsamościowa.

Otrzymujemy rozwiązanie nierówności:

$\underline{\underline{x\in \mathbb{R}}}$   

---