Przypomnijmy, że $\text{Jez˙eli}a\in \left(0,1\right)\cup \left(1,\infty \right)\text{oraz}{x}_1\in \mathbb{R},x_2\in \mathbb{R}\text{to}$     $a^{x_1}=a^{x_2}\iff x_1=x_2$

---

a)

Rozwiązujemy równanie

$0,125\cdot {16}^{2x-1}={\left(\sqrt[3]{0,25}\right)}^{3x-6}\cdot 8^{x-1}$    

Dziedziną równania jest 

$D=\mathbb{R}$  

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 2.   

$\frac{1}{8}\cdot {\left(2^4\right)}^{2x-1}={\left(\sqrt[3]{\frac{1}{4}}\right)}^{3x-6}\cdot {\left(2^3\right)}^{x-1}$    

$2^{-3}\cdot 2^{4\cdot \left(2x-1\right)}={\left(\sqrt[3]{2^{-2}}\right)}^{3x-6}\cdot 2^{3\left(x-1\right)}$

$2^{-3}\cdot 2^{8x-4}={\left(2^{-\frac{2}{3}}\right)}^{3x-6}\cdot 2^{3x-3}$

$2^{-3+8x-4}=2^{-\frac{2}{3}\cdot \left(3x-6\right)}\cdot 2^{3x-3}$

$2^{8x-7}=2^{-2x+4}\cdot 2^{3x-3}$

$2^{8x-7}=2^{-2x+4+3x-3}$

$2^{8x-7}=2^{x+1}$   

Porównujemy wykładniki:

$8x-7=x+1$  

$7x=8\mid :8$

$x=\frac{8}{7}$   

Otrzymujemy

$\underline{\underline{x=1\frac{1}{7}}}$  

---

b)

Rozwiązujemy równanie

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x-1}\cdot {\left(\frac{9}{4}\right)}^{3x+2}={\left(\frac{8}{27}\right)}^{x+5}$  

 Dziedziną równania jest 

$D=\mathbb{R}$  

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie .

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x-1}\cdot {\left({\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2}\right)}^{3x+2}={\left({\left(\frac{2}{3}\right)}^3\right)}^{x+5}$  

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x-1}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-2\left(3x+2\right)}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{3\left(x+5\right)}$  

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x-1}\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{-6x-4}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{3x+15}$  

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{2x-1-6x-4}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{3x+15}$  

${\left(\frac{2}{3}\right)}^{-4x-5}={\left(\frac{2}{3}\right)}^{3x+15}$  

Porównujemy wykładniki:

$-4x-5=3x+15$  

$-7x=20\mid :\left(-7\right)$  

$x=-\frac{20}{7}$  

Otrzymujemy

$\underline{\underline{x=-2\frac{6}{7}}}$  

---

c)

Rozwiązujemy równanie

${\left(\frac{4}{3}\right)}^{x^2+5x}={\left(\frac{9}{16}\right)}^{x-2}\cdot {0,75}^{x^2}$  

Dziedziną równania jest 

$D=\mathbb{R}$  

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie.

${\left({\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1}\right)}^{x^2+5x})={\left({\left(\frac{3}{4}\right)}^2\right)}^{x-2}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{x^2}$  

${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-1\left(x^2+5x\right)}={\left(\frac{3}{4}\right)}^{2\cdot \left(x-2\right)}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{x^2}$  

${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-x^2-5x}={\left(\frac{3}{4}\right)}^{2x-4}\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^{x^2}$  

${\left(\frac{3}{4}\right)}^{-x^2-5x}={\left(\frac{3}{4}\right)}^{2x-4+x^2}\cdot$  

Porównujemy wykładniki:

$-x^2-5x=2x-4+x^2$  

$-2x^2-7x+4=0$  

$\Delta ={\left(-7\right)}^2-4\cdot \left(-2\right)\cdot 4=49+32=81\sqrt{\Delta }=9$  

$x_1=\frac{7-9}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{-2}{-4}=\frac{1}{2}$   

$x_2=\frac{7+9}{2\cdot \left(-2\right)}=\frac{16}{-4}=-4$  

Otrzymujemy:

$\underline{\underline{x\in \left\{-4,\frac{1}{2}\right\}}}$  

---

d)

Rozwiązujemy równanie

${0,5}^{x^3}\cdot 4^{x^2-x}=\frac{1}{{32}^x}$

Dziedziną równania jest 

$D=\mathbb{R}$  

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 2.

${\left(2^{-1}\right)}^{x^3}\cdot {\left(2^2\right)}^{x^2-x}=\frac{1}{{\left(2^5\right)}^x}$

$2^{-x^3}\cdot 2^{2\left(x^2-x\right)}=\frac{1}{2^{5x}}$

$2^{-x^3}\cdot 2^{2x^2-2x}=2^{-5x}$

$2^{-x^3+2x^2-2x}=2^{-5x}$

Porównujemy wykładniki:

$-x^3+2x^2-2x=-5x$  

$-x^3+2x^2+3x=0$  

Wyłączamy niewiadomą x przed nawias i stąd mamy:

$x\left(-x^2+2x+3\right)=0$  

$x=0\vee -x^2+2x+3=0$  

$\Delta =2^2-4\cdot \left(-1\right)\cdot 3=4+12=16$  

$\sqrt{\Delta }=4$  

$x_1=\frac{-2-4}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{-6}{-2}=3$  

$x_2=\frac{-2+4}{2\cdot \left(-1\right)}=\frac{2}{-2}=-1$  

Otrzymujemy:

$\underline{\underline{x\in \left\{-1,0,3\right\}}}$  

---

e)

Rozwiązujemy równanie

$3^{\frac{2}{x}}\cdot 9^{\frac{1}{x-1}}=81$  

Aby wykładniki potęg w równaniu były określone, zakładamy, że

$x\ne 0\vee x-1\ne 0$  

$x\ne 1$  

 

Dziedziną równania jest 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{0,1\right\}$  

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 3.

$3^{\frac{2}{x}}\cdot {\left(3^2\right)}^{\frac{1}{x-1}}=3^4$  

$3^{\frac{2}{x}}\cdot 3^{2\cdot \frac{1}{x-1}}=3^4$  

$3^{\frac{2}{x}+\frac{2}{x-1}}=3^4$  

Porównujemy wykładniki:

$\frac{2}{x}+\frac{2}{x-1}=4\mid :2$  

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}=2$  

$\frac{1}{x}+\frac{1}{x-1}-2=0$  

$\frac{x-1}{x\left(x-1\right)}+\frac{x}{x\left(x-1\right)}-\frac{2x\left(x-1\right)}{x\left(x-1\right)}=0$  

$\frac{x-1+x-2x^2+2x}{x\left(x-1\right)}=0$    

$\frac{-2x^2+4x-1}{x\left(x-1\right)}=0$  

$-2x^2+4x-1=0\mid \cdot \left(-1\right)$  

$2x^2-4x+1=0$

$\Delta ={\left(-4\right)}^2-4\cdot 2\cdot 1=16-8=8$  

$\sqrt{\Delta }=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$  

$x_1=\frac{4-2\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{\cancel{2}\left(2-\sqrt{2}\right)}{\cancel{2}\cdot 2}=\frac{2-\sqrt{2}}{2}\in D$  

$x_2=\frac{4+2\sqrt{2}}{2\cdot 2}=\frac{\cancel{2}\left(2+\sqrt{2}\right)}{\cancel{2}\cdot 2}=\frac{2+\sqrt{2}}{2}\in D$  

Otrzymujemy, że

$\underline{\underline{x\in \left\{\frac{2-\sqrt{2}}{2},\frac{2+\sqrt{2}}{2}\right\}}}$  

---

f)

Rozwiązujemy równanie

$\frac{5^{\frac{x+3}{x-1}}}{25}={25}^{\frac{x+1}{x-1}}$  

Aby wykładniki potęg w równaniu były określone zakładamy, że

$x-1\ne 0$  

$x\ne 1$  

Dziedziną równania jest 

$D=\mathbb{R}\backslash \left\{1\right\}$  

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 5.

$\frac{5^{\frac{x+3}{x-1}}}{5^2}={\left(5^2\right)}^{\frac{x+1}{x-1}}$  

$5^{\frac{x+3}{x-1}-2}=5^{2\cdot \frac{x+1}{x-1}}$  

Porównujemy wykładniki:

$\frac{x+3}{x-1}-2=2\cdot \frac{x+1}{x-1}$   

$\frac{x+3}{x-1}-\frac{2\left(x-1\right)}{x-1}=\frac{2x+2}{x-1}$  

$\frac{x+3-2x+2}{x-1}=\frac{2x+2}{x-1}$  

$\frac{-x+5}{x-1}=\frac{2x+2}{x-1}$  

  $-x+5=2x+2$   

$-3x=-3\mid :\left(-3\right)$    

$x=1\notin D$  

Otrzymujemy, że równanie jest sprzeczne

---