Rozwiąż równania...- Zadanie 5: Matematyka 4. Zakres rozszerzony

Promocja na roczny dostęp z okazji Dnia Dziecka!

3 dni

14 h

35 min

40 sek

Kup Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.

Rozwiązanie

Przypomnijmy, że

$Je \overset{z}{˙} eli a \in (0, 1) \cup (1, \infty) oraz x_{1} \in R, x_{2} \in R to$

$a^{x_{1}} = a^{x_{2}} \Leftrightarrow x_{1} = x_{2}$

Rozwiązujemy równanie

$0, 125 \cdot 16^{2 x - 1} = (3 0, 25)^{3 x - 6} \cdot 8^{x - 1}$

Dziedziną równania jest

$D = R$

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 2.

$\frac{1}{8} \cdot (2^{4})^{2 x - 1} = (3 \frac{1}{4})^{3 x - 6} \cdot (2^{3})^{x - 1}$

$2^{- 3} \cdot 2^{4 \cdot (2 x - 1)} = (3 2^{- 2})^{3 x - 6} \cdot 2^{3 (x - 1)}$

$2^{- 3} \cdot 2^{8 x - 4} = (2^{- \frac{2}{3}})^{3 x - 6} \cdot 2^{3 x - 3}$

$2^{- 3 + 8 x - 4} = 2^{- \frac{2}{3} \cdot (3 x - 6)} \cdot 2^{3 x - 3}$

$2^{8 x - 7} = 2^{- 2 x + 4} \cdot 2^{3 x - 3}$

$2^{8 x - 7} = 2^{- 2 x + 4 + 3 x - 3}$

$2^{8 x - 7} = 2^{x + 1}$

Porównujemy wykładniki:

$8 x - 7 = x + 1$

$7 x = 8 ∣ : 8$

$x = \frac{8}{7}$

Otrzymujemy

$\underline{\underline{x = 1 \frac{1}{7}}}$

Rozwiązujemy równanie

$(\frac{2}{3})^{2 x - 1} \cdot (\frac{9}{4})^{3 x + 2} = (\frac{8}{27})^{x + 5}$

Dziedziną równania jest

$D = R$

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie .

$(\frac{2}{3})^{2 x - 1} \cdot ((\frac{2}{3})^{- 2})^{3 x + 2} = ((\frac{2}{3})^{3})^{x + 5}$

$(\frac{2}{3})^{2 x - 1} \cdot (\frac{2}{3})^{- 2 (3 x + 2)} = (\frac{2}{3})^{3 (x + 5)}$

$(\frac{2}{3})^{2 x - 1} \cdot (\frac{2}{3})^{- 6 x - 4} = (\frac{2}{3})^{3 x + 15}$

$(\frac{2}{3})^{2 x - 1 - 6 x - 4} = (\frac{2}{3})^{3 x + 15}$

$(\frac{2}{3})^{- 4 x - 5} = (\frac{2}{3})^{3 x + 15}$

Porównujemy wykładniki:

$- 4 x - 5 = 3 x + 15$

$- 7 x = 20 ∣ : (- 7)$

$x = - \frac{20}{7}$

Otrzymujemy

$\underline{\underline{x = - 2 \frac{6}{7}}}$

Rozwiązujemy równanie

$(\frac{4}{3})^{x^{2} + 5 x} = (\frac{9}{16})^{x - 2} \cdot 0, 75^{x^{2}}$

Dziedziną równania jest

$D = R$

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie.

$((\frac{3}{4})^{- 1})^{x^{2} + 5 x}) = ((\frac{3}{4})^{2})^{x - 2} \cdot (\frac{3}{4})^{x^{2}}$

$(\frac{3}{4})^{- 1 (x^{2} + 5 x)} = (\frac{3}{4})^{2 \cdot (x - 2)} \cdot (\frac{3}{4})^{x^{2}}$

$(\frac{3}{4})^{- x^{2} - 5 x} = (\frac{3}{4})^{2 x - 4} \cdot (\frac{3}{4})^{x^{2}}$

$(\frac{3}{4})^{- x^{2} - 5 x} = (\frac{3}{4})^{2 x - 4 + x^{2}} \cdot$

Porównujemy wykładniki:

$- x^{2} - 5 x = 2 x - 4 + x^{2}$

$- 2 x^{2} - 7 x + 4 = 0$

$Δ = (- 7)^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 4 = 49 + 32 = 81 Δ = 9$

$x_{1} = \frac{7 - 9}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{- 2}{- 4} = \frac{1}{2}$

$x_{2} = \frac{7 + 9}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{16}{- 4} = - 4$

Otrzymujemy:

$\underline{\underline{x \in {- 4, \frac{1}{2}}}}$

Rozwiązujemy równanie

$0, 5^{x^{3}} \cdot 4^{x^{2} - x} = \frac{1}{32 ^{x}}$

Dziedziną równania jest

$D = R$

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 2.

$(2^{- 1})^{x^{3}} \cdot (2^{2})^{x^{2} - x} = \frac{1}{( 2 ^{5} ) ^{x}}$

$2^{- x^{3}} \cdot 2^{2 (x^{2} - x)} = \frac{1}{2 ^{5 x}}$

$2^{- x^{3}} \cdot 2^{2 x^{2} - 2 x} = 2^{- 5 x}$

$2^{- x^{3} + 2 x^{2} - 2 x} = 2^{- 5 x}$

Porównujemy wykładniki:

$- x^{3} + 2 x^{2} - 2 x = - 5 x$

$- x^{3} + 2 x^{2} + 3 x = 0$

Wyłączamy niewiadomą x przed nawias i stąd mamy:

$x (- x^{2} + 2 x + 3) = 0$

$x = 0 \lor - x^{2} + 2 x + 3 = 0$

$Δ = 2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3 = 4 + 12 = 16$

$Δ = 4$

$x_{1} = \frac{- 2 - 4}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{- 6}{- 2} = 3$

$x_{2} = \frac{- 2 + 4}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{2}{- 2} = - 1$

Otrzymujemy:

$\underline{\underline{x \in {- 1, 0, 3}}}$

Rozwiązujemy równanie

$3^{\frac{2}{x}} \cdot 9^{\frac{1}{x - 1}} = 81$

Aby wykładniki potęg w równaniu były określone, zakładamy, że

$x \neq = 0 \lor x - 1 \neq = 0$

$x \neq = 1$

Dziedziną równania jest

$D = R \ {0, 1}$

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 3.

$3^{\frac{2}{x}} \cdot (3^{2})^{\frac{1}{x - 1}} = 3^{4}$

$3^{\frac{2}{x}} \cdot 3^{2 \cdot \frac{1}{x - 1}} = 3^{4}$

$3^{\frac{2}{x} + \frac{2}{x - 1}} = 3^{4}$

Porównujemy wykładniki:

$\frac{2}{x} + \frac{2}{x - 1} = 4 ∣ : 2$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} = 2$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} - 2 = 0$

$\frac{x - 1}{x ( x - 1 )} + \frac{x}{x ( x - 1 )} - \frac{2 x ( x - 1 )}{x ( x - 1 )} = 0$

$\frac{x - 1 + x - 2 x ^{2} + 2 x}{x ( x - 1 )} = 0$

$\frac{- 2 x ^{2} + 4 x - 1}{x ( x - 1 )} = 0$

$- 2 x^{2} + 4 x - 1 = 0 ∣ \cdot (- 1)$

$2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

$Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8$

$Δ = 8 = 22$

$x_{1} = \frac{4 - 2 2}{2 \cdot 2} = \frac{2 ( 2 - 2 )}{2 \cdot 2} = \frac{2 - 2}{2} \in D$

$x_{2} = \frac{4 + 2 2}{2 \cdot 2} = \frac{2 ( 2 + 2 )}{2 \cdot 2} = \frac{2 + 2}{2} \in D$

Otrzymujemy, że

$\underline{\underline{x \in {\frac{2 - 2}{2}, \frac{2 + 2}{2}}}}$

Rozwiązujemy równanie

$\frac{5 ^{\frac{x + 3}{x - 1}}}{25} = 25^{\frac{x + 1}{x - 1}}$

Aby wykładniki potęg w równaniu były określone zakładamy, że

$x - 1 \neq = 0$

$x \neq = 1$

Dziedziną równania jest

$D = R \ {1}$

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 5.

$\frac{5 ^{\frac{x + 3}{x - 1}}}{5 ^{2}} = (5^{2})^{\frac{x + 1}{x - 1}}$

$5^{\frac{x + 3}{x - 1} - 2} = 5^{2 \cdot \frac{x + 1}{x - 1}}$

Porównujemy wykładniki:

$\frac{x + 3}{x - 1} - 2 = 2 \cdot \frac{x + 1}{x - 1}$

$\frac{x + 3}{x - 1} - \frac{2 ( x - 1 )}{x - 1} = \frac{2 x + 2}{x - 1}$

$\frac{x + 3 - 2 x + 2}{x - 1} = \frac{2 x + 2}{x - 1}$

$\frac{- x + 5}{x - 1} = \frac{2 x + 2}{x - 1}$

$- x + 5 = 2 x + 2$

$- 3 x = - 3 ∣ : (- 3)$

$x = 1 \in / D$

Otrzymujemy, że równanie jest sprzeczne

Paweł Brzozowski

Nauczyciel matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Podstawowe pojęcia dotyczące równań

Premium

10:01

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Równania wymierne

Premium

14:04

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Wyznaczanie równania prostej

Premium

13:59

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.

Rozwiązanie

Przypomnijmy, że

$Je \overset{z}{˙} eli a \in (0, 1) \cup (1, \infty) oraz x_{1} \in R, x_{2} \in R to$

$a^{x_{1}} = a^{x_{2}} \Leftrightarrow x_{1} = x_{2}$

Rozwiązujemy równanie

$0, 125 \cdot 16^{2 x - 1} = (3 0, 25)^{3 x - 6} \cdot 8^{x - 1}$

Dziedziną równania jest

$D = R$

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 2.

$\frac{1}{8} \cdot (2^{4})^{2 x - 1} = (3 \frac{1}{4})^{3 x - 6} \cdot (2^{3})^{x - 1}$

$2^{- 3} \cdot 2^{4 \cdot (2 x - 1)} = (3 2^{- 2})^{3 x - 6} \cdot 2^{3 (x - 1)}$

$2^{- 3} \cdot 2^{8 x - 4} = (2^{- \frac{2}{3}})^{3 x - 6} \cdot 2^{3 x - 3}$

$2^{- 3 + 8 x - 4} = 2^{- \frac{2}{3} \cdot (3 x - 6)} \cdot 2^{3 x - 3}$

$2^{8 x - 7} = 2^{- 2 x + 4} \cdot 2^{3 x - 3}$

$2^{8 x - 7} = 2^{- 2 x + 4 + 3 x - 3}$

$2^{8 x - 7} = 2^{x + 1}$

Porównujemy wykładniki:

$8 x - 7 = x + 1$

$7 x = 8 ∣ : 8$

$x = \frac{8}{7}$

Otrzymujemy

$\underline{\underline{x = 1 \frac{1}{7}}}$

Rozwiązujemy równanie

$(\frac{2}{3})^{2 x - 1} \cdot (\frac{9}{4})^{3 x + 2} = (\frac{8}{27})^{x + 5}$

Dziedziną równania jest

$D = R$

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie .

$(\frac{2}{3})^{2 x - 1} \cdot ((\frac{2}{3})^{- 2})^{3 x + 2} = ((\frac{2}{3})^{3})^{x + 5}$

$(\frac{2}{3})^{2 x - 1} \cdot (\frac{2}{3})^{- 2 (3 x + 2)} = (\frac{2}{3})^{3 (x + 5)}$

$(\frac{2}{3})^{2 x - 1} \cdot (\frac{2}{3})^{- 6 x - 4} = (\frac{2}{3})^{3 x + 15}$

$(\frac{2}{3})^{2 x - 1 - 6 x - 4} = (\frac{2}{3})^{3 x + 15}$

$(\frac{2}{3})^{- 4 x - 5} = (\frac{2}{3})^{3 x + 15}$

Porównujemy wykładniki:

$- 4 x - 5 = 3 x + 15$

$- 7 x = 20 ∣ : (- 7)$

$x = - \frac{20}{7}$

Otrzymujemy

$\underline{\underline{x = - 2 \frac{6}{7}}}$

Rozwiązujemy równanie

$(\frac{4}{3})^{x^{2} + 5 x} = (\frac{9}{16})^{x - 2} \cdot 0, 75^{x^{2}}$

Dziedziną równania jest

$D = R$

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie.

$((\frac{3}{4})^{- 1})^{x^{2} + 5 x}) = ((\frac{3}{4})^{2})^{x - 2} \cdot (\frac{3}{4})^{x^{2}}$

$(\frac{3}{4})^{- 1 (x^{2} + 5 x)} = (\frac{3}{4})^{2 \cdot (x - 2)} \cdot (\frac{3}{4})^{x^{2}}$

$(\frac{3}{4})^{- x^{2} - 5 x} = (\frac{3}{4})^{2 x - 4} \cdot (\frac{3}{4})^{x^{2}}$

$(\frac{3}{4})^{- x^{2} - 5 x} = (\frac{3}{4})^{2 x - 4 + x^{2}} \cdot$

Porównujemy wykładniki:

$- x^{2} - 5 x = 2 x - 4 + x^{2}$

$- 2 x^{2} - 7 x + 4 = 0$

$Δ = (- 7)^{2} - 4 \cdot (- 2) \cdot 4 = 49 + 32 = 81 Δ = 9$

$x_{1} = \frac{7 - 9}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{- 2}{- 4} = \frac{1}{2}$

$x_{2} = \frac{7 + 9}{2 \cdot ( - 2 )} = \frac{16}{- 4} = - 4$

Otrzymujemy:

$\underline{\underline{x \in {- 4, \frac{1}{2}}}}$

Rozwiązujemy równanie

$0, 5^{x^{3}} \cdot 4^{x^{2} - x} = \frac{1}{32 ^{x}}$

Dziedziną równania jest

$D = R$

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 2.

$(2^{- 1})^{x^{3}} \cdot (2^{2})^{x^{2} - x} = \frac{1}{( 2 ^{5} ) ^{x}}$

$2^{- x^{3}} \cdot 2^{2 (x^{2} - x)} = \frac{1}{2 ^{5 x}}$

$2^{- x^{3}} \cdot 2^{2 x^{2} - 2 x} = 2^{- 5 x}$

$2^{- x^{3} + 2 x^{2} - 2 x} = 2^{- 5 x}$

Porównujemy wykładniki:

$- x^{3} + 2 x^{2} - 2 x = - 5 x$

$- x^{3} + 2 x^{2} + 3 x = 0$

Wyłączamy niewiadomą x przed nawias i stąd mamy:

$x (- x^{2} + 2 x + 3) = 0$

$x = 0 \lor - x^{2} + 2 x + 3 = 0$

$Δ = 2^{2} - 4 \cdot (- 1) \cdot 3 = 4 + 12 = 16$

$Δ = 4$

$x_{1} = \frac{- 2 - 4}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{- 6}{- 2} = 3$

$x_{2} = \frac{- 2 + 4}{2 \cdot ( - 1 )} = \frac{2}{- 2} = - 1$

Otrzymujemy:

$\underline{\underline{x \in {- 1, 0, 3}}}$

Rozwiązujemy równanie

$3^{\frac{2}{x}} \cdot 9^{\frac{1}{x - 1}} = 81$

Aby wykładniki potęg w równaniu były określone, zakładamy, że

$x \neq = 0 \lor x - 1 \neq = 0$

$x \neq = 1$

Dziedziną równania jest

$D = R \ {0, 1}$

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 3.

$3^{\frac{2}{x}} \cdot (3^{2})^{\frac{1}{x - 1}} = 3^{4}$

$3^{\frac{2}{x}} \cdot 3^{2 \cdot \frac{1}{x - 1}} = 3^{4}$

$3^{\frac{2}{x} + \frac{2}{x - 1}} = 3^{4}$

Porównujemy wykładniki:

$\frac{2}{x} + \frac{2}{x - 1} = 4 ∣ : 2$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} = 2$

$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} - 2 = 0$

$\frac{x - 1}{x ( x - 1 )} + \frac{x}{x ( x - 1 )} - \frac{2 x ( x - 1 )}{x ( x - 1 )} = 0$

$\frac{x - 1 + x - 2 x ^{2} + 2 x}{x ( x - 1 )} = 0$

$\frac{- 2 x ^{2} + 4 x - 1}{x ( x - 1 )} = 0$

$- 2 x^{2} + 4 x - 1 = 0 ∣ \cdot (- 1)$

$2 x^{2} - 4 x + 1 = 0$

$Δ = (- 4)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 16 - 8 = 8$

$Δ = 8 = 22$

$x_{1} = \frac{4 - 2 2}{2 \cdot 2} = \frac{2 ( 2 - 2 )}{2 \cdot 2} = \frac{2 - 2}{2} \in D$

$x_{2} = \frac{4 + 2 2}{2 \cdot 2} = \frac{2 ( 2 + 2 )}{2 \cdot 2} = \frac{2 + 2}{2} \in D$

Otrzymujemy, że

$\underline{\underline{x \in {\frac{2 - 2}{2}, \frac{2 + 2}{2}}}}$

Rozwiązujemy równanie

$\frac{5 ^{\frac{x + 3}{x - 1}}}{25} = 25^{\frac{x + 1}{x - 1}}$

Aby wykładniki potęg w równaniu były określone zakładamy, że

$x - 1 \neq = 0$

$x \neq = 1$

Dziedziną równania jest

$D = R \ {1}$

Obie strony równania zapiszemy w postaci potęgi o tej samej podstawie 5.

$\frac{5 ^{\frac{x + 3}{x - 1}}}{5 ^{2}} = (5^{2})^{\frac{x + 1}{x - 1}}$

$5^{\frac{x + 3}{x - 1} - 2} = 5^{2 \cdot \frac{x + 1}{x - 1}}$

Porównujemy wykładniki:

$\frac{x + 3}{x - 1} - 2 = 2 \cdot \frac{x + 1}{x - 1}$

$\frac{x + 3}{x - 1} - \frac{2 ( x - 1 )}{x - 1} = \frac{2 x + 2}{x - 1}$

$\frac{x + 3 - 2 x + 2}{x - 1} = \frac{2 x + 2}{x - 1}$

$\frac{- x + 5}{x - 1} = \frac{2 x + 2}{x - 1}$

$- x + 5 = 2 x + 2$

$- 3 x = - 3 ∣ : (- 3)$

$x = 1 \in / D$

Otrzymujemy, że równanie jest sprzeczne

Paweł Brzozowski

Nauczyciel matematyki