Przekształcamy wzór funkcji g, korzystając z praw działań na potęgach

$g\left(x\right)={\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^{-2x+8}-2,x\in \mathbb{R}$  

$g\left(x\right)={\left(\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^1}\right)}^{-2x+8}-2={\left(3^{\frac{1}{2}-1}\right)}^{-2x+8}-2={\left(3^{-\frac{1}{2}}\right)}^{-2x+8}-2=\dots$  

korzystamy z własności potęg i otrzymujemy, że wzór funkcji g można sprowadzić do postaci

$\dots =3^{-\frac{1}{2}\cdot \left(-2x+8\right)}-2=\underline{\underline{3^{x-4}-2}}$  

---

a)

Obliczamy współrzędne punktu wspólnego wykresu funkcji g i osi OY.

Punkt ten ma współrzędne

$P\left(0,g\left(0\right)\right)$  

$g\left(0\right)=3^{0-4}-2=3^{-4}-2=\frac{1}{81}-2=-1\frac{80}{81}$  

Punkt P ma współrzędne

$\left(0,-1\frac{80}{81}\right)$  

---

b)

Rozwiązujemy nierówność  

$g\left(x\right)>x+5$  

graficznie.

Aby narysować wykres funkcji g, należy wykres funkcji y=3^x przesunąć równolegle o wektor [4,-2]. Możemy to przekształcenie zapisać symbolicznie:

$y=3^x\stackrel{\overrightarrow{u}=\left[4,-2\right]}{\to }y=3^{x-4}-2$  

Wyznaczamy wartości funkcji y=3^x dla kilku wybranych argumentów. 

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$y$	$\frac{1}{9}$	$\frac{1}{3}$	$1$	$3$	$9$

Aby narysować prostą

$y=x-5$  

wyznaczamy dwa punkty, przez które ona przechodzi. Są to np. punkty o współrzędnych (0,-5) oraz (1,-4).

Rysujemy wykres funkcji g oraz prostą y=x+5: 

Z rysunku odczytujemy, że funkcja g ma jeden punkt wspólny z prostą y=x-5. Punkt ten ma współrzędne (4,-2). Z rysunku odczytujemy również, że wykres funkcji g znajduje się powyżej prostej y=x-5 dla wszystkich argumentów z dziedziny z wyłączeniem 4.

Otrzymujemy

$g\left(x\right)>x-5\iff x\in \mathbb{R}\backslash \left\{4\right\}$