Przypomnijmy, że  graniastosłupem prawidłowym nazywamy graniastosłup prosty, którego podstawą jest wielokąt foremny, czyli wielokąt, który ma wszystkie boki równej długości i wszystkie kąty wewnętrzne tej samej miary.

---

a)

Obliczamy długość przekątnej prostopadłościanu o krawędziach 3 cm, 4 cm i 12 cm.

Wykonujemy rysunek pomocniczy. Przed d oznaczamy przekątną prostopadłościanu, a przez d_p - przekątną podstawy. 

Rysunek: 

Zauważmy, że trójkąt ABC jest prostokątny, ponieważ stanowi on połowę podstawy graniastosłupa, czyli prostokąta ABCD. Z twierdzenia Pitagorasa w tym trójkącie mamy:

$3^2+4^2=d_p^2$  

$9+16=d_p^2$  

$25=d_p^2$   

Stąd przekątna podstawy ma długość:

$d_p=5\text{cm}$  

Z kolei z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie prostokątnym ACC₁ otrzymujemy:

$d_p^2+{12}^2=d^2$  

$5^2+{12}^2=d^2$  

$25+144=d^2$  

$169=d^2$   

Stąd dostajemy, że przekątna prostopadłościanu ma długość

$d=\underline{\underline{13\text{cm}}}$  

---

b)

Rozważamy graniastosłup prawidłowy czworokątny. Podstawą graniastosłupa jest kwadrat, którego krawędź podstawy ma długość 3 cm. Wiemy również, że przekątna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. 

Rysunek:

Zauważmy, że czworokąt ABCD jest kwadratem o boku 3 cm. Przypomnimy, że przekątna kwadratu o boku a ma długość a√2 , zatem korzystając ze wzoru na długość przekątnej kwadratu, otrzymujemy, że

$d_p=3\sqrt{2}\text{cm}$  

Trójkąt ACC₁ jest trójkątem prostokątnym o kątach 30°, 60°, 90°. 

Niech

$\left|C{C}_1\right|=a$  

Wtedy z własności trójkąta o kątach 30°, 60°, 90° mamy

$\left|AC\right|=a\sqrt{3},\left|A{C}_1\right|=d=2a$  

Wiemy, że 

$\left|AC\right|=d_p=3\sqrt{2}$   

Stąd:

$a\sqrt{3}=3\sqrt{2}\mid :\sqrt{3}$  

$a=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\frac{3\sqrt{6}}{3}=\sqrt{6}$  

Zatem przekątna graniastosłupa ma długość:

$d=2a=\underline{\underline{2\sqrt{6}\text{cm}}}$