Przypomnijmy wzór Bayesa: Niech A będzie zdarzeniem zawartym w przestrzeni Ω, zdarzenia B1, B2,...,Bn będą zdarzeniami zawartymi w tej samej przestrzeni Ω, spełniającymi warunki: 1)   zdarzenia B1, B2, ..., Bn wykluczają się parami 2)     $P\left(B_i\right)>0\text{dla}i=1,2,\dots ,n$    3)     $B_1\cup B_2\cup \dots \cup =\Omega$   to $\left(\ast \ast \right)P\left(B_i\mid A\right)=\frac{P\left(A\mid B_i\right)\cdot P\left(B_i\right)}{P\left(A\right)},\text{gdzie}$     $\left(\ast \right)P\left(A\right)=P\left(A\mid B_1\right)\cdot P\left(B_1\right)+P\left(A\mid B_2\right)\cdot P\left(B_2\right)+\dots +P\left(A\mid B_n\right)\cdot P\left(B_n\right)$   Wzór  $\left(\ast \right)$  przy założeniach 1) - 3) nazywamy twierdzeniem o prawdopodobieństwie całkowitym.

---

Oznaczmy zdarzenia:

A -  jedna sztuka towaru okaże się dobra

B₁ - wybrana sztuka towaru pochodzi z pierwszej firmy

B₂ - wybrana sztuka towaru pochodzi z drugiej firmy

---

a)

Zauważmy, że    $B_1\cap B_2=\varnothing \text{oraz}{B}_1\cup B_2=\Omega$  

Jest tak, ponieważ wylosowany towar na pewno będzie pochodził z pierwszej lub drugiej firmy oraz  na pewno dowolny towar nie będzie jednocześnie z obu firm. 

Z treści zadania wiemy, że pierwsza firma dostarcza do hurtowni dwa razy więcej wyrobów niż druga. Oznacza to, że wyroby pierwszej firmy stanowią  $\frac{2}{3}$  wszystkich towarów, a wyroby drugiej firmy stanowią  $\frac{1}{3}$   wszystkich towarów.

Zatem prawdopodobieństwa zdarzeń B₁  i B₂ są równe:

$P\left(B_1\right)=\frac{2}{3}P\left(B_2\right)=\frac{1}{3}$  

Zauważmy, że P(B₁) > 0 oraz P(B₂) > 0, więc zdarzenia B₁ i B₂ spełniają założenia twierdzenia o prawdopodobieństwie całkowitym.

---

Z treści zadania wiemy również, że

• wśród wyrobów pierwszej firmy braki stanowią 5%, zatem dobry towar stanowi 95% całych wyrobów. Innymi słowy prawdopodobieństwo wylosowania dobrego towaru, jeżeli wiadomo, że towar pochodzi z pierwszej firmy, wynosi 95%. Oznacza, to że prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B₁ jest równe:

$P\left(A\mid B_1\right)=95\%=0,95=\frac{95}{100}$  

• wśród wyrobów drugiej firmy braki stanowią 3%, zatem dobry towar stanowi 97% całych wyrobów. Innymi słowy prawdopodobieństwo wylosowania dobrego towaru, jeżeli wiadomo, że towar pochodzi z drugiej firmy, wynosi 97%. Oznacza, to że prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem zajścia zdarzenia B₂ jest równe:

$P\left(A\mid B_2\right)=97\%=0,97=\frac{97}{100}$   

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A. Stosujemy wzór  $\left(\ast \right)$  na prawdopodobieństwo całkowite w przypadku, gdy  $n=2$  

$P\left(A\right)=P\left(A\mid B_1\right)\cdot P\left(B_1\right)+P\left(A\mid B_2\right)\cdot P\left(B_2\right)=\frac{95}{100}\cdot \frac{2}{3}+\frac{97}{100}\cdot \frac{1}{3}=\frac{190+97}{300}=\underline{\underline{\frac{287}{300}}}$  

Odp.: Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana sztuka towaru okaże się dobra, jest równe   $\frac{287}{300}.$  

---

b)

Obliczamy prawdopodobieństwo, że losowo wybrana sztuka pochodzi z pierwszej firmy, jeżeli wiadomo, że okazała się dobra. Oznacza to, że mamy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe:   $P\left(B_1\mid A\right)$  

Stosujemy wzór Bayesa   $\left(\ast \ast \right)$  

$P\left(B_1\mid A\right)=\frac{P\left(A\mid B_1\right)\cdot P\left(B_1\right)}{P\left(A\right)}$  

Korzystamy z podpunktu a) i mamy:

$P\left(A\mid B_1\right)=\frac{95}{100}$  

$P\left(B_1\right)=\frac{2}{3}$  

$P\left(A\right)=\frac{287}{300}$  

Zatem:

$P\left(B_1\mid A\right)=\frac{\frac{95}{100}\cdot \frac{2}{3}}{\frac{287}{300}}=\frac{\frac{190}{300}}{\frac{287}{300}}=\frac{190}{\sout{300}}\cdot \frac{\sout{300}}{287}=\underline{\underline{\frac{190}{287}}}$  

Odp.:  Prawdopodobieństwo, że losowo wybrana sztuka pochodzi z pierwszej firmy, jeżeli wiadomo, że okazała się dobra, jest równe  $\frac{190}{287}.$