Przypomnijmy, że: Jeżeli przestrzeń zdarzeń elementarnych Ω  jest skończona i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne, natomiast A  jest dowolnym zdarzeniem w tej przestrzeni, to  $P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}$   gdzie |A| - moc zbioru A,  czyli liczba elementów zbioru A  |Ω| - moc zbioru Ω,  czyli liczba elementów zbioru Ω

---

Z treści zadania wiemy, że rzucamy pięć razy czworościenną symetryczną kostką z liczbami 1, 2, 3, 4 na poszczególnych ściankach.

Przestrzenią zdarzeń elementarnych jest zbiór:

$\Omega =\left\{\left(a,b,c,d,e\right):a,b,c,d,e\in \left\{1,2,3,4\right\}\right\}$  

W każdym z pięciu rzutów mamy 4 możliwości, zatem wszystkich zdarzeń elementarnych będzie:

$\left|\Omega \right|=\underset{5\text{razy}}{\underbrace{4\cdot 4\cdot 4\cdot 4\cdot 4}}=4^5=1024$  

Wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo prawdopodobne.

---

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

A - liczba 2 wypadnie co najwyżej 1 raz. 

Rozważamy dwa przypadki:

I. przypadek: liczba 2 nie wypadnie w żadnym z rzutów.

Oznacza to, że w każdym z rzutów wypadnie jedna  z trzech liczb: 1, 3, 4. 

Zatem wszystkich możliwości w tym przypadku będzie :

$\underset{5\text{razy}}{\underbrace{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}=3^5=243$  

II. przypadek: liczba 2 w dokładnie jednym rzucie.

Spośród pięciu rzutów wybieramy jeden, w którym wypadnie liczba 2. Możemy tego wyboru dokonać na 5 sposobów.

Oznacza to, że w każdym z pozostałych czterech rzutów wypadnie jedna z trzech liczb: 1, 3, 4. 

Zatem wszystkich możliwości w tym przypadku będzie :

$5\cdot \underset{4\text{razy}}{\underbrace{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}=5\cdot 3^4=5\cdot 81=405$  

Korzystamy z reguły dodawania i otrzymujemy moc zbioru A

$\left|A\right|=243+405=648$

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia A:

  $P\left(A\right)=\frac{\left|A\right|}{\left|\Omega \right|}=\frac{648}{1024}=\underline{\underline{\frac{81}{128}}}$  

---

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B:

B - suma otrzymanych liczb jest równa 6. 

Zauważmy, że sumę pięciu liczb  równą 6 możemy otrzymać  tylko w jednym przypadku:

  $6=2+1+1+1+1$  

Oznacza to, że wyrzuciliśmy w jednym rzucie liczbę 2 oraz w pozostałych czterech rzutach ściankę z liczbą 1. 

Wybieramy jeden spośród pięciu rzutów, w którym otrzymaliśmy liczbę 2. Tego wyboru możemy dokonać na 5 sposobów. 

W pozostałych rzutach otrzymaliśmy liczbę 1, więc na pozostałe rzuty mamy jedną możliwość.

Zatem

$\left|B\right|=5\cdot 1=5$  

Obliczamy prawdopodobieństwo zdarzenia B:

  $P\left(B\right)=\frac{\left|B\right|}{\left|\Omega \right|}=\underline{\underline{\frac{5}{1024}}}$  

---