Przypomnijmy że mówimy, że funkcja liczbowa   $f:X\to Y$   jest rosnąca  w zbiorze D ⊂ X,  jeżeli dla dowolnych argumentów x1 oraz x2  ze zbioru D,  nierówność x1 < x2 implikuje nierówność f(x1)< f(x2)

---

Pokażemy, że funkcja  $f\left(x\right)=3-{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x+1\right)$  

jest rosnąca w zbiorze   $\left(-1,\infty \right)$

Dziedziną funkcji f jest zbiór :  $D_f=\left(-1,\infty \right)$   

---

Dowód:

Niech  $x_1\in \left(-1,\infty \right),x_2\in \left(-1,\infty \right)\text{oraz}{x}_1<x_2$   

Obliczamy różnicę  $f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)$  

$f\left(x_1\right)-f\left(x_2\right)=\left[3-{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x_1+1\right)\right]-\left[3-{\log }_{\frac{1}{2}}\left(x_2+1\right)\right]=$