Przypomnijmy podstawowe własności logarytmów i prawa działań na logarytmach: $\text{Jez˙eli}a\in {\mathbb{R}}_{+}\backslash \left\{1\right\},b\in {\mathbb{R}}_{+}\backslash \left\{1\right\},r\in \mathbb{R},\text{oraz}x>0,y>0\text{to}$ : $1.{\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a\left(x\cdot y\right)$   $2.{\log }_{a}x-{\log }_{a}y={\log }_a\left(\frac{x}{y}\right)$   $3.r\cdot {\log }_{a}x={\log }_a{x}^r$   $4.{\log }_{a}x=\frac{{\log }_{b}x}{{\log }_{b}a}$   $5.{\log }_{a}b=\frac{1}{{\log }_{b}a}$   $6.a^{{\log }_{a}b}=b$

---

Założenia:

$a\in \left(4,\infty \right)$  

$4^{{\log }_2\left(a-4\right)}=25$  

Teza:

  ${\log }_{81}a=0,5$   

---

Dowód:

Przekształcamy założenie i obliczamy liczbę a. Mamy:

$4^{{\log }_2\left(a-4\right)}={\left(2^2\right)}^{{\log }_2\left(a-4\right)}=2^{2{\log }_2\left(a-4\right)}=\dots$  

Stosujemy wzór (3) i otrzymujemy:

$\dots =2^{{\log }_2{\left(a-4\right)}^2}=\dots$  

Ze wzoru (6) mamy:

$\dots ={\left(a-4\right)}^2$  

Zatem założenie 

$4^{{\log }_2\left(a-4\right)}=25$  

Sprowadza się do:

${\left(a-4\right)}^2=25$  

${\left(a-4\right)}^2-25=0$  

${\left(a-4\right)}^2-5^2=0$  

Stosujemy wzór skróconego mnożenia na różnicę kwadratów: a²-b²=(a-b)(a+b) i otrzymujemy:

$\left(a-4-5\right)\left(a-4+5\right)=0$  

$\left(a-9\right)\left(a+1\right)=0$  

$a-9=0\vee a+1=0$  

$a=9\in \left(4,\infty \right)\vee a=-1\notin \left(4,\infty \right)$  

Zatem

$a=9$  

---

Wstawiamy otrzymaną liczbę a do tezy i mamy:

${\log }_{81}a={\log }_{81}9={\log }_{81}\sqrt{81}={\log }_{81}{81}^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}=\underline{\underline{0,5}}$  

Co kończy dowód.▉