Przypomnijmy, że funkcją logarytmiczną nazywamy funkcję, którą można opisać wzorem: $f\left(x\right)={\log }_{a}x,\text{gdzie}a\in {\mathbb{R}}_{+}\backslash \left\{1\right\},x\in {\mathbb{R}}_{+}$   Funkcja ta jest: malejąca, gdy 0<a<1, rosnąca, gdy a>1.

---

Dana jest funkcja g określona wzorem:

$g\left(x\right)={\log }_{\frac{1}{8}}\frac{x-1}{x+2},x\in ⟨-4,-3⟩$  

---

Wyznaczamy największą wartość funkcji:

$f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+2}$  

w przedziale:

$x\in ⟨-4,-3⟩$  

 

Zauważmy, że:

$f\left(x\right)=\frac{x-1}{x+2}=\frac{x+2-2-1}{x+2}=\frac{x+2-3}{x+2}=1-\frac{3}{x+2}$  

 

Szkicujemy wykres funkcji:

$y=-\frac{3}{x}$  

A następnie przesuwamy go równolegle o wektor [-2, 1] i otrzymujemy wykres funkcji:

$y=-\frac{3}{x-\left(-2\right)}+1=-\frac{3}{x+2}+1$  

 

W przedziale <-4, -3> funkcja f jest rosnąca (dla większych argumentów przyjmuje większe wartości) - przyjmuje więc największą wartość dla argumentu x=-3.

---

Funkcja logarytmiczna o podstawie równej ¹/₈ jest malejąca (dla większych argumentów przyjmuje mniejsze wartości).

Najmniejsza wartość funkcji g jest więc równa:

$g\left(-3\right)={\log }_{\frac{1}{8}}\frac{-3-1}{-3+2}={\log }_{\frac{1}{8}}\frac{-4}{-1}={\log }_{\frac{1}{8}}4=\frac{{\log }_{2}4}{{\log }_2\frac{1}{8}}=\frac{2}{-3}=\underline{\underline{-\frac{2}{3}}}$  

c. k. d.