Definicja logarytmu: $\text{Jesˊli}a>0,a\ne 1\text{i}b>0,\text{to}\left({\log }_{a}b=c\iff a^c=b\right).$     Przypomnijmy, że: ${\log }_{a}x+{\log }_{a}y={\log }_a\left(x\cdot y\right)$   $r\cdot {\log }_{a}x={\log }_a{x}^r$     Przypomnijmy zależność pomiędzy średnią arytmetyczną i średnią geometryczną dwóch liczb dodatnich a i b: $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$     Twierdzenie, które wynika z monotoniczności funkcji logarytmicznej: $\left(1\right)\text{Jesˊli}a\in \left(0,1\right)\text{oraz}{x}_1\in {\mathbb{R}}_{+},x_2\in {\mathbb{R}}_{+},\text{to}$   ${\log }_a{x}_1<{\log }_a{x}_2\iff x_1>x_2$   $\left(2\right)\text{Jesˊli}a\in \left(1,+\infty \right)\text{oraz}{x}_1\in {\mathbb{R}}_{+},x_2\in {\mathbb{R}}_{+},\text{to}$   ${\log }_a{x}_1<{\log }_a{x}_2\iff x_1<x_2$

---

Założenie:

$a,b\in \left(0,1\right)$  

$\ln \frac{1}{a}\cdot \ln \frac{1}{b}=9$  

Teza:

$a\cdot b\le \frac{1}{e^6}$  

---

Dowód:

Z założenia wiemy, że:

$a,b\in \left(0,1\right)$  

Zatem:

$\frac{1}{a},\frac{1}{b}\in \left(1,+\infty \right)$  

 

Otrzymujemy więc, że:

$\frac{1}{a}>1$  

Logarytmujemy obie strony nierówności (obie strony są dodatnie):

$\ln \frac{1}{a}>\ln 1$  

$\underline{\ln \frac{1}{a}>0}$  

 

Ponadto:

$\frac{1}{b}>1$  

Logarytmujemy obie strony nierówności (obie strony są dodatnie):

$\ln \frac{1}{b}>\ln 1$  

$\underline{\ln \frac{1}{b}>0}$  

 

 

Z zależności pomiędzy średnią arytmetyczną i średnią geometryczną dwóch liczb dodatnich:

$\frac{\ln \frac{1}{a}+\ln \frac{1}{b}}{2}\ge \sqrt{\ln \frac{1}{a}\cdot \ln \frac{1}{b}}$  

Z założenia wiemy, że:

$\ln \frac{1}{a}\cdot \ln \frac{1}{b}=9$  

Zatem:

$\frac{\ln \left(\frac{1}{a}\cdot \frac{1}{b}\right)}{2}\ge \sqrt{9}$  

$\frac{\ln \frac{1}{ab}}{2}\ge 3\mid \cdot 2$  

$\ln {\left(ab\right)}^{-1}\ge 6$  

$-\ln ab\ge 6\mid \cdot \left(-1\right)$  

$\ln ab\le -6$  

$\ln ab\le \ln e^{-6}$  

Z monotoniczności funkcji logarytmicznej (patrz twierdzenie):

$ab\le e^{-6}$  

$ab\le \frac{1}{e^6}$  

c. k. d.