Przypomnijmy, że: Największą liczbę całkowitą, która nie jest większa od liczby x, nazywamy częścią całkowitą liczby x i oznaczamy [x]. Jeśli x=a·10n, gdzie a∈<1, 10) i n∈Z, to: - liczba n jest częścią całkowitą liczby log x, - liczba log a jest częścią ułamkową liczby log x.

---

a)

$x={88}^{88}\approx a\cdot {10}^n,\text{gdzie}a\in ⟨1,10),n\in \mathbb{N}$  

 

Obliczamy logarytm dziesiętny liczby x (korzystamy z własności logarytmu):

$\log x=\log {88}^{88}=88\cdot \log 88$  

Korzystamy z kalkulatora:

$\log 88=1,94448267$  

Stąd:

$\log x=88\cdot 1,94448267=171,114475$  

 

Otrzymujemy, że:

$n=\left[\log x\right]=171$  

oraz

$\log a=0,114475$  

Z definicji logarytmu:

$a={10}^{0,114475}$  

Korzystamy z kalkulatora:

$a\approx 1,30159$  

 

Zatem:

$x={88}^{88}\approx \underline{\underline{1,30159\cdot {10}^{171}}}$  

---

b)

Uwaga. W treści zadania powinno być 8⁸⁸⁸.

$x=8^{888}\approx a\cdot {10}^n,\text{gdzie}a\in ⟨1,10),n\in \mathbb{N}$  

 

Obliczamy logarytm dziesiętny liczby x (korzystamy z własności logarytmu):

$\log x=\log 8^{888}=888\cdot \log 8$  

Korzystamy z kalkulatora:

$\log 8=0,903089987$  

Stąd:

$\log x=888\cdot 0,903089987=801,943908$  

 

Otrzymujemy, że:

$n=\left[\log x\right]=801$  

oraz

$\log a=0,943908$  

Z definicji logarytmu:

$a={10}^{0,943908}$  

Korzystamy z kalkulatora:

$a\approx 8,78836$  

 

Zatem:

$x=8^{888}\approx \underline{\underline{8,78836\cdot {10}^{801}}}$  

---

c)

$x={888}^8\approx a\cdot {10}^n,\text{gdzie}a\in ⟨1,10),n\in \mathbb{N}$  

 

Obliczamy logarytm dziesiętny liczby x (korzystamy z własności logarytmu):

$\log x=\log {888}^8=8\cdot \log 888$  

Korzystamy z kalkulatora:

$\log 888=2,94841297$  

Stąd:

$\log x=8\cdot 2,94841297=23,5873038$  

 

Otrzymujemy, że:

$n=\left[\log x\right]=23$  

oraz

$\log a=0,5873038$  

Z definicji logarytmu:

$a={10}^{0,5873038}$  

Korzystamy z kalkulatora:

$a\approx 3,86637$  

 

Zatem:

$x={888}^8\approx \underline{\underline{3,86637\cdot {10}^{23}}}$  

---

d)

$x={88}^{15}\cdot {15}^{88}\approx a\cdot {10}^n,\text{gdzie}a\in ⟨1,10),n\in \mathbb{N}$  

 

Obliczamy logarytm dziesiętny liczby x (korzystamy z własności logarytmu):

$\log x=\log \left({88}^{15}\cdot {15}^{88}\right)=\log {88}^{15}+\log {15}^{88}=15\cdot \log 88+88\cdot \log 15$  

Korzystamy z kalkulatora:

$\log 88=1,94448267$

$\log 15=1,17609126$   

Stąd:

$\log x=15\cdot 1,94448267+88\cdot 1,17609126=29,1672401+103,496031=132,663271$  

 

Otrzymujemy, że:

$n=\left[\log x\right]=132$  

oraz

$\log a=0,663271$  

Z definicji logarytmu:

$a={10}^{0,663271}$  

Korzystamy z kalkulatora:

$a\approx 4,60544$  

 

Zatem:

$x={88}^{15}\cdot {15}^{88}\approx \underline{\underline{4,60544\cdot {10}^{132}}}$