Rozwiąż nierówności...- Zadanie 2.92: Matematyka 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Definicja logarytmu:

$Je \overset{s}{ˊ} li a > 0, a \neq = 1 i b > 0, to (lo g_{a} b = c \Leftrightarrow a^{c} = b) .$

Twierdzenie, które wynika z monotoniczności funkcji logarytmicznej:

$(1) Je \overset{s}{ˊ} li a \in (0, 1) oraz x_{1} \in R_{+}, x_{2} \in R_{+}, to$

$lo g_{a} x_{1} < lo g_{a} x_{2} \Leftrightarrow x_{1} > x_{2}$

$(2) Je \overset{s}{ˊ} li a \in (1, + \infty) oraz x_{1} \in R_{+}, x_{2} \in R_{+}, to$

$lo g_{a} x_{1} < lo g_{a} x_{2} \Leftrightarrow x_{1} < x_{2}$

$lo g_{\frac{2}{3}} (x - 2) < lo g_{\frac{2}{3}} (4 - x)$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$x - 2 > 0 \land 4 - x > 0$

$x > 2 \land - x > - 4$

$x > 2 \land x < 4$

Zatem:

$D = (2, 4)$

Rozwiązujemy nierówność:

$lo g_{\frac{2}{3}} (x - 2) < lo g_{\frac{2}{3}} (4 - x)$

Korzystamy z twierdzenia, które wynika z monotoniczności funkcji logarytmicznej.

Zauważmy, że:

$\frac{2}{3} \in (0, 1)$

Porównując liczby logarytmowane zmieniamy znak nierówności na przeciwny:

$x - 2 > 4 - x$

$x + x > 4 + 2$

$2 x > 6 ∣ : 2$

$x > 3$

$x \in (3, + \infty)$

Uwzględniamy dziedzinę nierówności:

$x \in (3, + \infty) \land x \in (2, 4)$

Otrzymujemy, że:

$\underline{\underline{x \in (3, 4)}}$

$lo g_{4} ∣ x - 3 ∣ \leq lo g_{4} 8$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$∣ x - 3 ∣ > 0$

Wiemy, że wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc:

$∣ x - 3 ∣ \neq = 0$

$x - 3 \neq = 0$

$x \neq = 3$

Zatem:

$D = R \ {3}$

Rozwiązujemy nierówność:

$lo g_{4} ∣ x - 3 ∣ \leq lo g_{4} 8$

Korzystamy z twierdzenia, które wynika z monotoniczności funkcji logarytmicznej.

Zauważmy, że:

$4 \in (1, + \infty)$

Porównując liczby logarytmowane znak nierówności pozostawiamy bez zmiany:

$∣ x - 3 ∣ \leq 8$

Stąd:

$x - 3 \leq 8 \land x - 3 \geq - 8$

$x \leq 8 + 3 \land x \geq - 8 + 3$

$x \leq 11 \land x \geq - 5$

$x \in ⟨ - 5, 11 ⟩$

Uwzględniamy dziedzinę nierówności:

$x \in ⟨ - 5, 11 ⟩ \land x \in R \ {3}$

Otrzymujemy, że:

$\underline{\underline{x \in ⟨ - 5, 3) \cup (3, 11 ⟩}}$

$lo g_{\frac{3}{4}} \frac{1}{3} - 2 x < - 1$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$\frac{1}{3} - 2 x > 0$

Wiemy, że wartość bezwzględna dowolnej liczby rzeczywistej jest liczbą nieujemną, więc:

$\frac{1}{3} - 2 x \neq = 0$

$- 2 x \neq = - \frac{1}{3} ∣ \cdot (- \frac{1}{2})$

$x \neq = \frac{1}{6}$

Zatem:

$D = R \ {\frac{1}{6}}$

Rozwiązujemy nierówność:

$lo g_{\frac{3}{4}} \frac{1}{3} - 2 x < - 1$

$lo g_{\frac{3}{4}} \frac{1}{3} - 2 x < lo g_{\frac{3}{4}} \frac{4}{3}$

Korzystamy z twierdzenia, które wynika z monotoniczności funkcji logarytmicznej.

Zauważmy, że:

$\frac{3}{4} \in (0, 1)$

Porównując liczby logarytmowane zmieniamy znak nierówności na przeciwny:

$\frac{1}{3} - 2 x > \frac{4}{3}$

Stąd:

$\frac{1}{3} - 2 x > \frac{4}{3} \lor \frac{1}{3} - 2 x < - \frac{4}{3}$

$- 2 x > \frac{4}{3} - \frac{1}{3} \lor - 2 x < - \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

$- 2 x > 1 \lor - 2 x < - \frac{5}{3}$

$x < 1 \cdot (- \frac{1}{2}) \lor x > - \frac{5}{3} \cdot (- \frac{1}{2})$

$x < - \frac{1}{2} \lor x > \frac{5}{6}$

$x \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{6}, + \infty)$

Uwzględniamy dziedzinę nierówności:

$x \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{6}, + \infty) \land x \in R \ {\frac{1}{6}}$

Otrzymujemy, że:

$\underline{\underline{x \in (- \infty, - \frac{1}{2}) \cup (\frac{5}{6}, + \infty)}}$

$lo g_{2} (3 x + 1) \leq 4$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$3 x + 1 > 0$

$3 x > - 1 ∣ : 3$

$x > - \frac{1}{3}$

Zatem:

$D = (- \frac{1}{3}, + \infty)$

Rozwiązujemy nierówność:

$lo g_{2} (3 x + 1) \leq 4$

$lo g_{2} (3 x + 1) \leq lo g_{2} 4$

Korzystamy z twierdzenia, które wynika z monotoniczności funkcji logarytmicznej.

Zauważmy, że:

$2 \in (1, + \infty)$

Porównując liczby logarytmowane znak nierówności pozostawiamy bez zmiany:

$3 x + 1 \leq 4$

$3 x \leq 4 - 1$

$3 x \leq 3 ∣ : 3$

$x \leq 1$

$x \in (- \infty, 1 ⟩$

Uwzględniamy dziedzinę nierówności:

$x \in (- \infty, 1 ⟩ \land x \in (- \frac{1}{3}, + \infty)$

Otrzymujemy, że:

$\underline{\underline{x \in (- \frac{1}{3}, 1 ⟩}}$

$0, 5 + lo g_{3} (3 x - 1) \geq lo g_{3} (3 - x)$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$3 x - 1 > 0 \land 3 - x > 0$

$3 x > 1 \land - x > - 3$

$x > \frac{1}{3} \land x < 3$

$x > \frac{3}{3} \land x < 3$

$D = (\frac{3}{3}, 3)$

Rozwiązujemy nierówność:

$0, 5 + lo g_{3} (3 x - 1) \geq lo g_{3} (3 - x)$

$\frac{1}{2} + lo g_{3} (3 x - 1) \geq lo g_{3} (3 - x)$

$lo g_{3} 3 + lo g_{3} (3 x - 1) \geq lo g_{3} (3 - x)$

$lo g_{3} (3 (3 x - 1)) \geq lo g_{3} (3 - x)$

$lo g_{3} (3 x - 3) \geq lo g_{3} (3 - x)$

Korzystamy z twierdzenia, które wynika z monotoniczności funkcji logarytmicznej.

Zauważmy, że:

$3 \in (1, + \infty)$

Porównując liczby logarytmowane znak nierówności pozostawiamy bez zmiany:

$3 x - 3 \geq 3 - x$

$3 x + x \geq 3 + 3$

$4 x \geq 23 ∣ : 4$

$x \geq \frac{2 3}{4}$

$x \geq \frac{3}{2}$

$x \in ⟨ \frac{3}{2}, + \infty)$

Uwzględniamy dziedzinę nierówności:

$x \in ⟨ \frac{3}{2}, + \infty) \land x \in (\frac{3}{3}, 3)$

Otrzymujemy, że:

$\underline{\underline{x \in ⟨ \frac{3}{2}, 3)}}$

$lo g_{0, 2} (3 - x) - 2 < lo g_{0, 2} (x + 23)$

Wyznaczamy dziedzinę nierówności:

$3 - x > 0 \land x + 23 > 0$

$- x > - 3 \land x > - 23$

$x < 3 \land x > - 23$

Zatem:

$D = (- 23, 3)$

Rozwiązujemy równanie:

$lo g_{0, 2} (3 - x) - 2 < lo g_{0, 2} (x + 23)$

$lo g_{\frac{1}{5}} (3 - x) - 2 < lo g_{\frac{1}{5}} (x + 23)$

$lo g_{\frac{1}{5}} (3 - x) - lo g_{\frac{1}{5}} \frac{1}{25} < lo g_{\frac{1}{5}} (x + 23)$

$lo g_{\frac{1}{5}} \frac{3 - x}{\frac{1}{25}} < lo g_{\frac{1}{5}} (x + 23)$

$lo g_{\frac{1}{5}} ((3 - x) \cdot 25) < lo g_{\frac{1}{5}} (x + 23)$

$lo g_{\frac{1}{5}} (75 - 25 x) < lo g_{\frac{1}{5}} (x + 23)$

Korzystamy z twierdzenia, które wynika z monotoniczności funkcji logarytmicznej.

Zauważmy, że:

$\frac{1}{5} \in (0, 1)$

Porównując liczby logarytmowane zmieniamy znak nierówności na przeciwny:

$75 - 25 x > x + 23$

$- 25 x - x > 23 - 75$

$- 26 x > - 52 ∣ : (- 26)$

$x < 2$

$x \in (- \infty, 2)$

Uwzględniamy dziedzinę nierówności:

$x \in (- \infty, 2) \land x \in (- 23, 3)$

Otrzymujemy, że:

$\underline{\underline{x \in (- 23, 2)}}$

Patrycja Olszowy

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Funkcja logarytmiczna

Premium

9:46

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Własności logarytmów

Premium

13:32

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Monotoniczność funkcji

11:35

Zobacz lekcję

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.