Rozwiąż równania...- Zadanie 2.82: Matematyka 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Definicja logarytmu:

$Je \overset{s}{ˊ} li a > 0, a \neq = 1 i b > 0, to (lo g_{a} b = c \Leftrightarrow a^{c} = b) .$

Przypomnijmy, że:

$r \cdot lo g_{a} x = lo g_{a} x^{r}$

$lo g_{a} x + lo g_{a} y = lo g_{a} (x \cdot y)$

$lo g_{a} x - lo g_{a} y = lo g_{a} \frac{x}{y}$

Twierdzenie, które wynika z różnowartościowości funkcji logarytmicznej:

$Je \overset{s}{ˊ} li a \in (0, 1) \cup (1, + \infty) oraz x_{1} \in R_{+}, x_{2} \in R_{+}, to$

$lo g_{a} x_{1} = lo g_{a} x_{2} \Leftrightarrow x_{1} = x_{2}$

$2 lo g_{3} (x - 5) - lo g_{3} 4 = lo g_{3} (3 x - 20)$

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x - 5 > 0 \land 3 x - 20 > 0$

$x > 5 \land 3 x > 20$

$x > 5 \land x > \frac{20}{3}$

$x > 5 \land x > 6 \frac{2}{3}$

Zatem:

$D = (6 \frac{2}{3}, + \infty)$

Rozwiązujemy równanie:

$2 lo g_{3} (x - 5) - lo g_{3} 4 = lo g_{3} (3 x - 20)$

$lo g_{3} (x - 5)^{2} - lo g_{3} 4 = lo g_{3} (3 x - 20)$

Ze wzoru skróconego mnożenia (a-b)²=a²-2ab+b²:

$lo g_{3} (x^{2} - 10 x + 25) - lo g_{3} 4 = lo g_{3} (3 x - 20)$

$lo g_{3} \frac{x ^{2} - 10 x + 25}{4} = lo g_{3} (3 x - 20)$

Korzystamy z twierdzenia, które wynika z różnowartościowości funkcji logarytmicznej:

$\frac{x ^{2} - 10 x + 25}{4} = 3 x - 20 ∣ \cdot 4$

$x^{2} - 10 x + 25 = 12 x - 80$

$x^{2} - 10 x + 25 - 12 x + 80 = 0$

$x^{2} - 22 x + 105 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$Δ = (- 22)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 105 = 484 - 420 = 64$

$Δ = 64 = 8$

$x_{1} = \frac{- ( - 22 ) - 8}{2 \cdot 1} = \frac{22 - 8}{2} = \frac{14}{2} = 7$

$x_{2} = \frac{- ( - 22 ) + 8}{2 \cdot 1} = \frac{22 + 8}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$7 \in D$

$15 \in D$

Zatem:

$\underline{\underline{x \in {7, 15}}}$

$lo g 5 x - 4 + lo g x + 1 = 2 + lo g 0, 18$

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$5 x - 4 > 0 \land x + 1 > 0$

$5 x > 4 \land x > - 1$

$x > \frac{4}{5} \land x > - 1$

Zatem:

$D = (\frac{4}{5}, + \infty)$

Rozwiązujemy równanie:

$lo g 5 x - 4 + lo g x + 1 = 2 + lo g 0, 18$

$lo g (5 x - 4 \cdot x + 1) = lo g 100 + lo g 0, 18$

$lo g (5 x - 4) (x + 1) = lo g (100 \cdot 0, 18)$

$lo g 5 x^{2} + 5 x - 4 x - 4 = lo g 18$

$lo g 5 x^{2} + x - 4 = lo g 18$

Korzystamy z twierdzenia, które wynika z różnowartościowości funkcji logarytmicznej:

$5 x^{2} + x - 4 = 18$

$5 x^{2} + x - 4 = 18^{2}$

$5 x^{2} + x - 4 = 324$

$5 x^{2} + x - 4 - 324 = 0$

$5 x^{2} + x - 328 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$Δ = 1^{2} - 4 \cdot 5 \cdot (- 328) = 1 + 6560 = 6561$

$Δ = 6561 = 81$

$x_{1} = \frac{- 1 - 81}{2 \cdot 5} = \frac{- 82}{10} = - 8, 2$

$x_{2} = \frac{- 1 + 81}{2 \cdot 5} = \frac{80}{10} = 8$

$- 8, 2 \in / D$

$8 \in D$

Zatem:

$\underline{\underline{x = 8}}$

$\frac{1}{2} lo g (x - 5) + lo g 2 x - 3 + 1 = lo g 30$

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x - 5 > 0 \land 2 x - 3 > 0$

$x > 5 \land 2 x - 3 > 0$

$x > 5 \land 2 x > 3$

$x > 5 \land x > \frac{3}{2}$

$x > 5 \land x > 1 \frac{1}{2}$

Zatem:

$D = (5, + \infty)$

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{1}{2} lo g (x - 5) + lo g 2 x - 3 + 1 = lo g 30$

$lo g (x - 5)^{\frac{1}{2}} + lo g 2 x - 3 = lo g 30 - 1$

$lo g x - 5 + lo g 2 x - 3 = lo g 30 - lo g 10$

$lo g (x - 5 \cdot 2 x - 3) = lo g \frac{30}{10}$

$lo g (x - 5) (2 x - 3) = lo g 3$

$lo g 2 x^{2} - 3 x - 10 x + 15 = lo g 3$

$lo g 2 x^{2} - 13 x + 15 = lo g 3$

Korzystamy z twierdzenia, które wynika z różnowartościowości funkcji logarytmicznej:

$2 x^{2} - 13 x + 15 = 3$

$2 x^{2} - 13 x + 15 = 3^{2}$

$2 x^{2} - 13 x + 15 = 9$

$2 x^{2} - 13 x + 15 - 9 = 0$

$2 x^{2} - 13 x + 6 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$Δ = (- 13)^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 169 - 48 = 121$

$Δ = 121 = 11$

$x_{1} = \frac{- ( - 13 ) - 11}{2 \cdot 2} = \frac{13 - 11}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x_{2} = \frac{- ( - 13 ) + 11}{2 \cdot 2} = \frac{13 + 11}{4} = \frac{24}{4} = 6$

$\frac{1}{2} \in / D$

$6 \in D$

Zatem:

$\underline{\underline{x = 6}}$

$lo g_{4} x + \frac{1}{2} lo g_{4} (x + 4) = 1, 25$

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$x > 0 \land x + 4 > 0$

$x > 0 \land x > - 4$

Zatem:

$D = (0, + \infty)$

Rozwiązujemy równanie:

$lo g_{4} x + \frac{1}{2} lo g_{4} (x + 4) = 1, 25$

$lo g_{4} x + lo g_{4} (x + 4)^{\frac{1}{2}} = 1 \frac{1}{4}$

$lo g_{4} x + lo g_{4} x + 4 = 1 \frac{1}{4}$

$lo g_{4} (x \cdot x + 4) = 1 \frac{1}{4}$

$lo g_{4} x (x + 4) = 1 \frac{1}{4}$

$lo g_{4} x^{2} + 4 x = \frac{5}{4}$

Z definicji logarytmu:

$x^{2} + 4 x = 4^{\frac{5}{4}}$

$x^{2} + 4 x = (4^{\frac{5}{4}})^{2}$

$x^{2} + 4 x = 4^{\frac{5}{2}}$

$x^{2} + 4 x = (2^{2})^{\frac{5}{2}}$

$x^{2} + 4 x = 2^{5}$

$x^{2} + 4 x = 32$

$x^{2} + 4 x - 32 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$Δ = 4^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 32) = 16 + 128 = 144$

$Δ = 144 = 12$

$x_{1} = \frac{- 4 - 12}{2 \cdot 1} = \frac{- 16}{2} = - 8$

$x_{2} = \frac{- 4 + 12}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$

$- 8 \in / D$

$4 \in D$

Zatem:

$\underline{\underline{x = 4}}$

$\frac{lo g ( 9 - x ^{3} )}{lo g ( 3 - x )} = 3$

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$9 - x^{3} > 0 \land 3 - x > 0 \land lo g (3 - x) \neq = 0$

$9 - x^{3} > 0$

Ze wzoru skróconego mnożenia a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²):

$(39 - x) (381 + 39 x + x^{2}) > 0$

$39 - x = 0 \lor x^{2} + 39 x + 381 = 0$

$x = 39 \lor Δ = (39)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 381 = 381 - 4381 = - 3381$

Ponieważ Δ<0, to równanie kwadratowe nie ma rozwiązań.

$x \in (- \infty, 39)$

$3 - x > 0$

$- x > - 3 ∣ \cdot (- 1)$

$x < 3$

$x \in (- \infty, 3)$

$lo g (3 - x) \neq = 0$

$3 - x \neq = 10^{0}$

$3 - x \neq = 1$

$- x \neq = 1 - 3$

$- x \neq = - 2$

$x \neq = 2$

Otrzymujemy, że:

$x \in (- \infty, 39) \land x \in (- \infty, 3) \land x \neq = 2$

Zatem:

$D = (- \infty, 2) \cup (2, 39)$

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{lo g ( 9 - x ^{3} )}{lo g ( 3 - x )} = 3 ∣ \cdot lo g (3 - x)$

$lo g (9 - x^{3}) = 3 lo g (3 - x)$

$lo g (9 - x^{3}) = lo g (3 - x)^{3}$

Korzystamy z twierdzenia, które wynika z różnowartościowości funkcji logarytmicznej:

$9 - x^{3} = (3 - x)^{3}$

Ze wzoru skróconego mnożenia (a-b)³=a³-3a²b+3ab²-b³:

$9 - x^{3} = 3^{3} - 3 \cdot 3^{2} \cdot x + 3 \cdot 3 \cdot x^{2} - x^{3}$

$9 - x^{3} = 27 - 27 x + 9 x^{2} - x^{3}$

$9 - x^{3} - 27 + 27 x - 9 x^{2} + x^{3} = 0$

$- 9 x^{2} + 27 x - 18 = 0 ∣ : (- 9)$

$x^{2} - 3 x + 2 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$Δ = (- 3)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1, Δ = 1$

$x_{1} = \frac{- ( - 3 ) - 1}{2 \cdot 1} = \frac{3 - 1}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_{2} = \frac{- ( - 3 ) + 1}{2 \cdot 1} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

$1 \in D$

$2 \in / D$

Zatem:

$\underline{\underline{x = 1}}$

$\frac{ln ( 2 x - 19 ) - ln ( 3 x - 20 )}{ln x} = - 1$

Wyznaczamy dziedzinę równania:

$2 x - 19 > 0 \land 3 x - 20 > 0 \land x > 0 \land ln x \neq = 0$

Z definicji logarytmu:

$2 x > 19 \land 3 x > 20 \land x > 0 \land x \neq = e^{0}$

$x > \frac{19}{2} \land x > \frac{20}{3} \land x > 0 \land x \neq = 1$

$x > 9 \frac{1}{2} \land x > 6 \frac{2}{3} \land x > 0 \land x \neq = 1$

Zatem:

$D = (9 \frac{1}{2}, + \infty)$

Rozwiązujemy równanie:

$\frac{ln ( 2 x - 19 ) - ln ( 3 x - 20 )}{ln x} = - 1 ∣ \cdot ln x$

$ln (2 x - 19) - ln (3 x - 20) = - ln x$

$ln \frac{2 x - 19}{3 x - 20} = ln x^{- 1}$

$ln \frac{2 x - 19}{3 x - 20} = ln \frac{1}{x}$

Korzystamy z twierdzenia, które wynika z różnowartościowości funkcji logarytmicznej:

$\frac{2 x - 19}{3 x - 20} = \frac{1}{x}$

$(2 x - 19) x = 3 x - 20$

$2 x^{2} - 19 x = 3 x - 20$

$2 x^{2} - 19 x - 3 x + 20 = 0$

$2 x^{2} - 22 x + 20 = 0 ∣ : 2$

$x^{2} - 11 x + 10 = 0$

Rozwiązujemy równanie kwadratowe:

$Δ = (- 11)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 121 - 40 = 81$

$Δ = 81 = 9$

$x_{1} = \frac{- ( - 11 ) - 9}{2 \cdot 1} = \frac{11 - 9}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_{2} = \frac{- ( - 11 ) + 9}{2 \cdot 1} = \frac{11 + 9}{2} = \frac{20}{2} = 10$

$1 \in / D$

$10 \in D$

Zatem:

$\underline{\underline{x = 10}}$

Patrycja Olszowy

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Własności logarytmów

Premium

13:32

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Funkcja logarytmiczna

Premium

9:46

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Określenie logarytmu

Premium

13:14

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.