Niech: r - promień podstawy walca h - wysokość walca Wzór na objętość walca: $V=\pi r^2\cdot h$ Wzór na pole podstawy walca: $P_p=\pi r^2$    Wzór na pole powierzchni bocznej walca: $P_b=2\pi r\cdot h$     Niech: r - promień podstawy stożka h - wysokość stożka l - długość tworzącej stożka Wzór na objętość stożka: $V=\frac{1}{3}\cdot \pi r^2\cdot h$ Wzór na pole podstawy stożka: $P_p=\pi r^2$     Wzór na pole powierzchni bocznej stożka: $P_b=\pi rl$

---

a)

Zauważmy, że:

$9+b=15$  

$b=15-9$  

$b=6$  

 

Z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 45°, 45°, 90°:

$a=b=6$  

$c=b\sqrt{2}=6\sqrt{2}$  

 

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Zauważmy, że w wyniku obrotu trapezu prostokątnego wokół krótszej podstawy otrzymamy bryłę, która składa się z walca, z którego wycięto stożek.

 

Zauważmy, że objętość otrzymanej bryły obliczymy odejmując od objętości walca o promieniu podstawy 6 i wysokości 15 objętość stożka o promieniu podstawy 6 i wysokości 6, więc:

$V=\pi \cdot 6^2\cdot 15-\frac{1}{{\cancel{3}}^1}\cdot \pi \cdot 6^2\cdot {\cancel{6}}^2=$  

$=\pi \cdot 36\cdot 15-\pi \cdot 36\cdot 2=$  

$=540\pi -72\pi =$  

$=\underline{\underline{468\pi }}$  

 

Zauważmy, że pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły jest równe sumie pola powierzchni jednej podstawy walca o promieniu podstawy 6, pola powierzchni bocznej walca o promieniu podstawy 6 i wysokości 15 oraz pola powierzchni bocznej stożka o promieniu podstawy 6 i tworzącej długości 6√2, więc:

$P_c=\pi \cdot 6^2+2\pi \cdot 6\cdot 15+\pi \cdot 6\cdot 6\sqrt{2}=$  

$=36\pi +180\pi +36\sqrt{2}\pi =$   

$=216\pi +36\sqrt{2}\pi =$  

$=\underline{\underline{36\pi \left(6+\sqrt{2}\right)}}$  

---

b)

Zauważmy, że:

$9+b=15$  

$b=15-9$  

$b=6$  

 

Z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 45°, 45°, 90°:

$a=b=6$  

$c=b\sqrt{2}=6\sqrt{2}$  

 

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Zauważmy, że w wyniku obrotu trapezu prostokątnego wokół najkrótszego boku otrzymamy bryłę, która składa się ze stożka, z którego wycięto stożek o wspólnym wierzchołku (tak jak na powyższym rysunku) - otrzymamy więc stożek ścięty.

 

Zauważmy, że objętość otrzymanej bryły obliczymy odejmując od objętości stożka o promieniu podstawy 15 i wysokości h+6 objętość stożka o promieniu podstawy 9 i wysokości h, więc:

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {15}^2\cdot \left(h+6\right)-\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot 9^2\cdot h$  

 

Z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 45°, 45°, 90°:

$h=9$  

$l=9\sqrt{2}$  

 

Zatem:

$V=\frac{1}{3}\cdot \pi \cdot {15}^2\cdot \left(9+6\right)-\frac{1}{{\cancel{3}}^1}\cdot \pi \cdot 9^2\cdot {\cancel{9}}^3=$  

$=\frac{1}{{\cancel{3}}^1}\cdot \pi \cdot 225\cdot {\cancel{15}}^5-\pi \cdot 81\cdot 3=$  

$=1125\pi -243\pi =$  

$=\underline{\underline{882\pi }}$  

 

Zauważmy, że pole powierzchni całkowitej otrzymanej bryły obliczymy odejmując od pola powierzchni bocznej stożka o promieniu podstawy 15 i tworzącej długości l+6√2 pole powierzchni bocznej stożka o promieniu podstawy 9 i tworzącej długości l oraz dodając pole podstawy stożka o promieniu podstawy 15 oraz pole podstawy stożka o promieniu podstawy 9, więc:

$P_c=\pi \cdot 15\cdot \left(l+6\sqrt{2}\right)-\pi \cdot 9\cdot l+\pi \cdot {15}^2+\pi \cdot 9^2=$  

$=\pi \cdot 15\cdot \left(9\sqrt{2}+6\sqrt{2}\right)-\pi \cdot 9\cdot 9\sqrt{2}+\pi \cdot 225+\pi \cdot 81=$  

$=\pi \cdot 15\cdot 15\sqrt{2}-81\sqrt{2}\pi +225\pi +81\pi =$  

$=225\sqrt{2}\pi -81\sqrt{2}\pi +306\pi =$  

$=144\sqrt{2}\pi +306\pi =$  

$=\underline{\underline{18\pi \left(8\sqrt{2}+17\right)}}$