Przypomnijmy, że podstawą graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest trójkąt równoboczny.

---

Wprowadźmy oznaczenie:

a - długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego [cm]

 

Wiemy, że objętość graniastosłupa jest równa 720√3:

$V=720\sqrt{3}$  

Wyznaczamy objętość graniastosłupa:

$V=\underset{\text{pole podstawy}}{\underbrace{\frac{a^2\cdot \sqrt{3}}{4}}}\cdot \underset{\text{wysokosˊcˊ}}{\underbrace{20}}=a^2\cdot \sqrt{3}\cdot 5=5\sqrt{3}\cdot a^2$  

Stąd:

$5\sqrt{3}{a}^2=720\sqrt{3}\mid :\left(5\sqrt{3}\right)$  

$a^2=\frac{720\sqrt{3}}{5\sqrt{3}}$  

$a^2=144$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$a=\sqrt{144}$  

$a=12$  

 

Ze wzoru na wysokość trójkąta równobocznego:

$h=\frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{12\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}$  

 

Zauważmy, że:

$\text{tg}{60}^{\circ }=\frac{x}{6\sqrt{3}}$  

$\sqrt{3}=\frac{x}{6\sqrt{3}}$  

$\sqrt{3}\cdot 6\sqrt{3}=x$  

$6\cdot 3=x$  

$x=18$  

 

Ponieważ 18<20, to płaszczyzna przekroju przecina jedną z krawędzi bocznych graniastosłupa.

Otrzymany przekrój jest więc trójkątem równoramiennym.

 

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Z zależności między długościami boków w trójkącie o kątach 30°, 60°, 90° (trójkąt EDC):

$\left|DE\right|=2\cdot \left|CD\right|=2\cdot 6\sqrt{3}=12\sqrt{3}$  

 

Obliczamy pole przekroju (pole trójkąta):

$P_{ABE}=\frac{1}{2}\cdot \left|AB\right|\cdot \left|DE\right|=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 12\sqrt{3}=6\cdot 12\sqrt{3}=\underline{\underline{72\sqrt{3}\left[{\text{cm}}^2\right]}}$