Przypomnijmy, że ostrosłupem prostym nazywamy ostrosłup, który spełnia dwa warunki: na podstawie ostrosłupa można opisać okrąg, spodek wysokości ostrosłupa jest środkiem okręgu opisanego na podstawie.

---

Przyjmijmy oznaczenia takie jak na poniższym rysunku:

Obliczymy objętość tego ostrosłupa:

$V=\frac{1}{3}\cdot \underset{\text{pole podstawy}}{\underbrace{P_{ABC}}}\cdot \underset{\text{wysokosˊcˊ}}{\underbrace{h}}$  

 

Obliczamy połowę obwodu trójkąta ABC:

$p=\frac{13+14+15}{2}=\frac{42}{2}=21$  

Obliczamy pole trójkąta ABC (korzystamy ze wzoru Herona):

$P_{ABC}=\sqrt{21\left(21-13\right)\left(21-14\right)\left(21-15\right)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=\sqrt{7056}=84$  

 

Pole trójkąta ABC możemy również obliczyć ze wzoru:

$P_{ABC}=\frac{13\cdot 14\cdot 15}{4R}=\frac{13\cdot 7\cdot 15}{2R}=\frac{1365}{2R}$  

 

Stąd:

$84=\frac{1365}{2R}\mid \cdot 2R$  

$168R=1365\mid :168$  

$R=\frac{1365}{168}$  

$R=8\frac{21}{168}$  

$R=8\frac{1}{8}$  

 

Z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt WSC):

$R^2+h^2={\left(21\frac{1}{8}\right)}^2$  

${\left(8\frac{1}{8}\right)}^2+h^2={\left(21\frac{1}{8}\right)}^2$  

$h^2={\left(21\frac{1}{8}\right)}^2-{\left(8\frac{1}{8}\right)}^2$  

$h^2={\left(\frac{169}{8}\right)}^2-{\left(\frac{65}{8}\right)}^2$  

$h^2=\frac{28561}{64}-\frac{4225}{64}$  

$h^2=\frac{24336}{64}$  

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$h=\sqrt{\frac{24336}{64}}$  

$h=\frac{156}{8}$  

$h=19,5$  

 

Zatem:

$V=\frac{1}{3}\cdot 84\cdot 19,5=28\cdot 19,5=\underline{\underline{546\left[{\text{cm}}^3\right]}}$