a)

$f\left(x\right)=\frac{-2\cdot 5^x-7}{5^x+4},x\in \mathbb{R}$

Niech t=5^x, t>0:

$g\left(t\right)=\frac{-2t-7}{t+4},t>0$

Zauważmy, że:

$g\left(t\right)=\frac{-2t-7}{t+4}=\frac{-2\left(t+\frac{7}{2}\right)}{t+4}=\frac{-2\left(t+4-\frac{1}{2}\right)}{t+4}=$  

$=\frac{-2\left(t+4\right)+1}{t+4}=\frac{1}{t+4}-2,t>0$  

Wystarczy naszkicować wykres funkcji y=¹/_t, a następnie przesunąć o wektor [-4, -2].

$t$	$1$	$2$	$3$
$y=\frac{1}{t}$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{3}$

$g\left(0\right)=\frac{1}{4}-2=-1\frac{3}{4}$

Zbiór wartości funkcji y=g(t), dla t>0 jest taki sam jak zbiór wartości funkcji f, czyli:

$Z{W}_f=\left(-2,-1\frac{3}{4}\right)$   

---

b)

$f\left(x\right)=\frac{2\cdot 3^x-15}{3^x-9},x\in \mathbb{R}\text{}\left\{2\right\}$  

Niech t=3^x, t>0:

$g\left(t\right)=\frac{2t-15}{t-9},t>0$

Zauważmy, że:

$g\left(t\right)=\frac{2t-15}{t-9}=\frac{2\left(t-\frac{15}{2}\right)}{t-9}=\frac{2\left(t-9+\frac{3}{2}\right)}{t-9}=$  

$=\frac{2\left(t-9\right)+3}{t-9}=\frac{3}{t-9}+2,t\in \left(0,9\right)\cup \left(9,+\infty \right)$

Wystarczy naszkicować wykres funkcji y=³/_t, a następnie przesunąć o wektor [9, 2].

$t$	$1$	$2$	$3$
$y=\frac{3}{t}$	$3$	$\frac{3}{2}$	$1$

$g\left(0\right)=2+\frac{3}{-9}=2-\frac{1}{3}=1\frac{2}{3}$

Zbiór wartości funkcji y=g(t), dla t>0 jest taki sam jak zbiór wartości funkcji f, czyli:

$Z{W}_f=\left(-\infty ,1\frac{2}{3}\right)\cup \left(2,\infty \right)$   

---

c)

$f\left(x\right)=9^x-2\cdot 3^x+4,x\in \mathbb{R}$  

Zauważmy, że:

$f\left(x\right)={\left(3^x\right)}^2-2\cdot 3^x+4$

Niech:

$t=3^x,t>0$

$g\left(t\right)=t^2-2t+4,t>0$

Funkcja g jest funkcją kwadratową, której wykresem jest parabola ramionami skierowana w górę. 
Wyznaczamy współrzędne wierzchołka tej paraboli:

$x_w=\frac{2}{2}=1$

$y_w=g\left(x_w\right)=g\left(1\right)=1^2-2\cdot 1+4=1-2+4=3$     

Wyznaczamy punkt przecięcia wykresu funkcji g z osią OY:

$\left(0,4\right)$  

Zbiór wartości funkcji y=g(t), dla t>0 jest taki sam jak zbiór wartości funkcji f, czyli:

$Z{W}_f=⟨3,\infty )$   

---

d)

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}\cdot 8^x-2\cdot 4^x+3\cdot 2^x,x\in \mathbb{R}$  

Zauważmy, że:

$f\left(x\right)=\frac{1}{3}\cdot {\left(2^x\right)}^3-2\cdot {\left(2^x\right)}^2+3\cdot 2^x$

Niech:

$t=2^x,t>0$

$g\left(t\right)=\frac{1}{3}{t}^3-2t^2+3t=t\left(\frac{1}{3}{t}^2-2t+3\right),t>0$

Wyznaczamy miejsca zerowe funkcji:

$\frac{1}{3}{t}^2-2t+3=0\mid \cdot 3$

$t^2-6t+9=0$  

$\Delta =36-4\cdot 1\cdot 9=36-36=0$

$t=\frac{6}{2}=3$

Zatem:

$g\left(t\right)=\frac{1}{3}t{\left(t-3\right)}^2$     

Zbiór wartości funkcji y=g(t), dla t>0 jest taki sam jak zbiór wartości funkcji f, czyli:

$Z{W}_f=⟨0,\infty )$   

---

e)

$f\left(x\right)=\frac{-2\cdot {25}^x}{{\left(5^x+1\right)}^2},x\in \mathbb{R}$

Zauważmy, że:

$f\left(x\right)=\frac{-2\cdot {\left(5^x\right)}^2}{{\left(5^x+1\right)}^2}$

Niech t=5^x, t>0:

$g\left(t\right)=\frac{-2\cdot t^2}{{\left(t+1\right)}^2}$    

$D_g=\mathbb{R}\text{}\left\{-1\right\}$  

Punkt wspólny wykresu funkcji g i osi OY: (0,0)

 

Badamy istnienie asymptot ukośnych:

$\underset{t\to \pm \infty }{\lim }\frac{g\left(t\right)}{t}=\underset{t\to \pm \infty }{\lim }\frac{\frac{-2t^2}{t^2+2t+1}}{t}=\underset{t\to \pm \infty }{\lim }\frac{-2t^2}{t^3+2t^2+t}=\underset{t\to \pm \infty }{\lim }\frac{-2}{t+2+\frac{1}{t}}=\frac{-2}{\pm \infty }=0$  

$\underset{t\to \pm \infty }{\lim }g\left(t\right)=\underset{t\to \pm \infty }{\lim }\frac{-2t^2}{t^2+2t+1}=-2$  

Zatem prosta postaci y=-2 jest asymptotą poziomą wykresu funkcji f.         

 

Badamy istnienie asymptot pionowych:

$\underset{t\to -1^{+}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{t\to -1^{+}}{\lim }\frac{-2t^2}{{\left(t+1\right)}^2}=\frac{-2}{0^{+}}=-\infty$  

$\underset{t\to -1^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{t\to -1^{-}}{\lim }\frac{-2t^2}{{\left(t+1\right)}^2}=\frac{-2}{0^{+}}=-\infty$  

Asymptota pionowa: t=-1.

 

Wyznaczamy pochodną funkcji g:

$g{}^{\prime }\left(t\right)=\frac{-4t\left(t^2+2t+1\right)+2t^2\cdot \left(2t+2\right)}{{\left(t+1\right)}^4}$  

$g{}^{\prime }\left(t\right)=\frac{-4t^3-8t^2-4t+4t^3+4t^2}{{\left(t+1\right)}^4}$  

$g{}^{\prime }\left(t\right)=\frac{-4t^2-4t}{{\left(t+1\right)}^4}$  

$g{}^{\prime }\left(t\right)=\frac{-4t\left(t+1\right)}{{\left(t+1\right)}^4}$  

$g{}^{\prime }\left(t\right)=\frac{-4t}{{\left(t+1\right)}^3}$  

 

Wyznaczmy punkty krytyczne.

$\frac{-4t}{{\left(t+1\right)}^3}=0\mid \cdot {\left(t+1\right)}^3$  

$-4t=0\mid :\left(-4\right)$

$t=0$  

 

Sprawdźmy kiedy g'(t)>0.

$\frac{-4t}{{\left(t+1\right)}^3}>0\mid \cdot {\left(t+1\right)}^4$  

$\left(-4t\right)\left(t+1\right)>0\mid :\left(-4\right)$  

$t\left(t+1\right)<0$  

$t\in \left(-1,0\right)$  

 

Budujemy tabelkę.

$t$	$\left(-\infty ,-1\right)$	$\left(-1,0\right)$	$0$	$\left(0,+\infty \right)$
$g\left(t\right)$	malejąca	rosnąca	$0$	malejąca

$g\left(0\right)=\frac{-2\cdot 0^2}{{\left(0+1\right)}^2}=0$  

Wykres funkcji g:

Zbiór wartości funkcji y=g(t), dla t>0 jest taki sam jak zbiór wartości funkcji f, czyli:

$Z{W}_f=\left(-2,0\right)$  

---

f)

$f\left(x\right)=\frac{3^{3x}}{1-3^{2x}},x\in \mathbb{R}\text{}\left\{0\right\}$  

Zauważmy, że:

$f\left(x\right)=\frac{{\left(3^x\right)}^3}{1-{\left(3^x\right)}^2}$

Niech t=3^x, t>0:

$g\left(t\right)=\frac{t^3}{1-t^2}$    

$D_g=\mathbb{R}\text{}\left\{-1,1\right\}$  

Punkt wspólny wykresu funkcji g i osi OY: (0, 0).

Wyznaczmy miejsca zerowe:

$0=t^3$  

$t=0$  

 

Badamy istnienie asymptot pionowych.

$\underset{t\to -1^{-}}{\lim }g\left(t\right)=\underset{t\to -1^{-}}{\lim }\frac{t^3}{1-t^2}=+\infty$     

$\underset{t\to -1^{+}}{\lim }g\left(t\right)=\underset{t\to -1^{+}}{\lim }\frac{t^3}{1-t^2}=-\infty$     

Zatem prosta t=-1 jest asymptotą pionową.

 

Badamy istnienie asymptot pionowych.

$\underset{t\to 1^{-}}{\lim }g\left(t\right)=\underset{t\to 1^{-}}{\lim }\frac{t^3}{1-t^2}=+\infty$     

$\underset{t\to 1^{+}}{\lim }g\left(t\right)=\underset{t\to 1^{+}}{\lim }\frac{t^3}{1-t^2}=-\infty$     

Zatem prosta t=1 jest asymptotą pionową.

 

Badamy istnienie asymptot ukośnych:   

$\underset{t\to \pm \infty }{\lim }\frac{g\left(t\right)}{t}=\underset{t\to \pm \infty }{\lim }\frac{t^3}{t-t^3}=-1$  

$\underset{t\to \pm \infty }{\lim }\left[g\left(t\right)-at\right]=\underset{t\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{t^3}{1-t^2}+t\right]=\underset{t\to \pm \infty }{\lim }\left[\frac{t^3}{1-t^2}+\frac{t\left(1-t^2\right)}{1-t^2}\right]=$  

$=\underset{t\to \pm \infty }{\lim }\frac{t^3+t-t^3}{1-t^2}=\underset{t\to \pm \infty }{\lim }\frac{t}{1-t^2}=0$  

Asymptota ukośna jest postaci: 

$y=-t$  

Wyznaczamy pochodna funkcji g:

$g{}^{\prime }\left(t\right)=\frac{3t^2\left(1-t^2\right)-t^3\cdot \left(-2t\right)}{{\left(1-t^2\right)}^2}$  

$g{}^{\prime }\left(t\right)=\frac{3t^2-3t^4+2t^4}{{\left(1-t^2\right)}^2}$  

$g{}^{\prime }\left(t\right)=\frac{-t^4+3t^2}{{\left(1-t^2\right)}^2}$  

Wyznaczmy punkty krytyczne.

$\frac{-t^4+3t^2}{{\left(1-t^2\right)}^2}=0$  

$-t^4+3t^2=0$  

$t^2\left(-t^2+3\right)=0$  

$t=0\vee t^2=3$  

$t=0\vee t=\sqrt{3}\vee t=-\sqrt{3}$  

 

Sprawdźmy kiedy g'(t)>0.

$\frac{-t^4+3t^2}{{\left(1-t^2\right)}^2}>0$  

$-t^4+3t^2>0$  

$t^2\left(-t^2+3\right)>0$  

$-t^2+3>0$  

$t^2-3<0$  

$\left(t-\sqrt{3}\right)\left(t+\sqrt{3}\right)<0$  

$t\in \left(-\sqrt{3},\sqrt{3}\right)$  

 

Budujemy tabelkę.

$t$	$\left(-\infty ,-\sqrt{3}\right)$	$-\sqrt{3}$	$\left(-\sqrt{3},-1\right)$	$\left(-1,0\right)$	$0$	$\left(0,1\right)$	$\left(1,\sqrt{3}\right)$	$\sqrt{3}$	$\left(\sqrt{3},+\infty \right)$
$y=g\left(t\right)$	malejąca	minimum lokalne	rosnąca	rosnąca	$0$	rosnąca	rosnąca	maksimum lokalne	malejąca

$g\left(-\sqrt{3}\right)=\frac{{\left(-\sqrt{3}\right)}^3}{1-{\left(-\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{-3\sqrt{3}}{1-3}=\frac{-3\sqrt{3}}{-2}=\frac{3}{2}\sqrt{3}$  

$g\left(\sqrt{3}\right)=\frac{{\left(\sqrt{3}\right)}^3}{1-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{3\sqrt{3}}{1-3}=\frac{3\sqrt{3}}{-2}=-\frac{3}{2}\sqrt{3}$  

 

Wykres funkcji g:

Zbiór wartości funkcji y=g(t), dla t>0 jest taki sam jak zbiór wartości funkcji f, czyli:

$Z{W}_f=(-\infty ,-\frac{3}{2}\sqrt{3}⟩\cup \left(0,\infty \right)$