Na płaszczyźnie π dany jest odcinek AB...- Zadanie 5.40: Matematyka 4. Zakres rozszerzony

Rozwiązanie

Niech:

α - kąt nachylenia prostej AD do płaszczyzny π

β - kąt nachylenia prostej AC do płaszczyzny π

Rysunek pomocniczy:

Wiemy, że:

$∣ B D ∣ = ∣ D C ∣ - punkt D jest \overset{s}{ˊ} rodkiem odcinka BC$

$tg α = \frac{2}{3}$

Obliczamy sinus kąta nachylenia prostej AC do płaszczyzny π:

$sin β = \frac{∣ B C ∣}{∣ A C ∣} (*)$

Zauważmy, że:

$tg α = \frac{∣ B D ∣}{∣ A B ∣}$

Stąd:

$\frac{∣ B D ∣}{∣ A B ∣} = \frac{2}{3}$

$∣ B D ∣ = \frac{2}{3} \cdot ∣ A B ∣$

Zauważmy, że:

$∣ B C ∣ = ∣ B D ∣ + ∣ B D ∣ ∣ D C ∣ = 2 \cdot ∣ B D ∣ = 2 \cdot \frac{2}{3} \cdot ∣ A B ∣ = \underline{\frac{4}{3} \cdot ∣ A B ∣}$

Z twierdzenia Pitagorasa (trójkąt ABC):

$∣ A C ∣^{2} = ∣ A B ∣^{2} + ∣ B C ∣^{2}$

$∣ A C ∣^{2} = ∣ A B ∣^{2} + (\frac{4}{3} \cdot ∣ A B ∣)^{2}$

$∣ A C ∣^{2} = ∣ A B ∣^{2} + \frac{16}{9} \cdot ∣ A B ∣^{2}$

$∣ A C ∣^{2} = \frac{9}{9} \cdot ∣ A B ∣^{2} + \frac{16}{9} \cdot ∣ A B ∣^{2}$

$∣ A C ∣^{2} = \frac{25}{9} \cdot ∣ A B ∣^{2}$

Długości odcinków są dodatnie, więc:

$∣ A C ∣ = \underline{\frac{5}{3} \cdot ∣ A B ∣}$

Podstawiamy dane do (*) i otrzymujemy:

$sin β = \frac{\frac{4}{3} \cdot ∣ A B ∣}{\frac{5}{3} \cdot ∣ A B ∣} = \frac{\frac{4}{3}}{\frac{5}{3}} = \frac{4}{3 ^{1}} \cdot \frac{3 ^{1}}{5} = \underline{\underline{\frac{4}{5}}}$

Patrycja Olszowy

Nauczycielka matematyki

Zobacz lekcje, które wyjaśnią temat krok po kroku:

Trójkąt prostokątny, twierdzenie Pitagorasa

13:53

Zobacz lekcję

Długość odcinka

Premium

13:52

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Proste i płaszczyzny w przestrzeni

Premium

13:12

Zobacz lekcję

Dostęp do wszystkich lekcji w planie Premium

Tutaj pojawi się lista Twoich książek

Zaloguj się i zacznij tworzyć ją już teraz.