Z treści zadania wiemy, że zdarzenia A, B, C są parami niezależne, zatem:

$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)$  

$P\left(A\cap C\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(C\right)$  

$P\left(B\cap C\right)=P\left(B\right)\cdot P\left(C\right)$  

---

Dodatkowo wiemy, że:   

$2P\left(A\right)=3P\left(B\right)\mid :3$  

$\frac{2}{3}P\left(A\right)=P\left(B\right)$  

oraz

$3P\left(B\right)=3P\left(C\right)\mid :3$  

$P\left(B\right)=P\left(C\right)$  

$\frac{2}{3}P\left(A\right)=P\left(C\right)$  

---

Rysunek pomocniczy:

---

a)

Zauważmy, że:

$P\left(A\cup B\cup C\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)+P\left(C\right)-P\left(A\cap B\right)-P\left(A\cap C\right)-P\left(B\cap C\right)+P\left(A\cap B\cap C\right)$  

$P\left(A\cup B\cup C\right)=P\left(A\right)+\frac{2}{3}P\left(A\right)+\frac{2}{3}P\left(A\right)-P\left(A\right)\cdot P\left(B\right)-P\left(A\right)\cdot P\left(C\right)-P\left(B\right)\cdot P\left(C\right)+0$  

$P\left(A\cup B\cup C\right)=P\left(A\right)+\frac{2}{3}P\left(A\right)+\frac{2}{3}P\left(A\right)-P\left(A\right)\cdot \frac{2}{3}P\left(A\right)-P\left(A\right)\cdot \frac{2}{3}P\left(A\right)-\frac{2}{3}P\left(A\right)\cdot \frac{2}{3}P\left(A\right)$  

$P\left(A\cup B\cup C\right)=P\left(A\right)+\frac{2}{3}P\left(A\right)+\frac{2}{3}P\left(A\right)-\frac{2}{3}{\left(P\left(A\right)\right)}^2-\frac{2}{3}{\left(P\left(A\right)\right)}^2-\frac{4}{9}{\left(P\left(A\right)\right)}^2$    

$P\left(A\cup B\cup C\right)=\frac{3}{3}P\left(A\right)+\frac{2}{3}P\left(A\right)+\frac{2}{3}P\left(A\right)-\frac{6}{9}{\left(P\left(A\right)\right)}^2-\frac{6}{9}{\left(P\left(A\right)\right)}^2-\frac{4}{9}{\left(P\left(A\right)\right)}^2$  

$P\left(A\cup B\cup C\right)=\frac{7}{3}P\left(A\right)-\frac{16}{9}{\left(P\left(A\right)\right)}^2$  

Rozważmy funkcję:

$f\left(x\right)=\frac{7}{3}x-\frac{16}{9}{x}^2$  

Zauważmy, że jest to funkcja kwadratowa, zatem jej wykresem jest parabola ramionami skierowana w dół. Przyjmuje ona zatem wartość największą w wierzchołku paraboli.

Wyznaczamy pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli będącej wykresem funkcji f

$x_w=\frac{-\frac{7}{3}}{2\cdot \left(-\frac{16}{9}\right)}=\frac{-\frac{7}{3}}{-\frac{32}{9}}=\frac{7}{3}\cdot \frac{9}{32}=\frac{21}{32}$

Zatem największa wartość

$P\left(A\cup B\cup C\right)$  

będzie, gdy: 

$P\left(A\right)=\frac{21}{32}$  

Wobec tego otrzymujemy:

$P\left(A\cup B\cup C\right)=\frac{7}{{\sout{3}}^1}\cdot \frac{{\sout{21}}^7}{32}-\frac{{\sout{16}}^1}{9}\cdot \frac{21}{{\sout{32}}^2}\cdot \frac{21}{32}$  

$P\left(A\cup B\cup C\right)=\frac{49}{32}-\frac{21}{{\sout{18}}^6}\cdot \frac{{\sout{21}}^7}{32}$  

$P\left(A\cup B\cup C\right)=\frac{49}{32}-\frac{{\sout{21}}^7}{{\sout{6}}^2}\cdot \frac{7}{32}$  

$P\left(A\cup B\cup C\right)=\frac{49}{32}-\frac{49}{64}$  

$P\left(A\cup B\cup C\right)=\frac{98}{64}-\frac{49}{64}$  

$P\left(A\cup B\cup C\right)=\frac{49}{64}$  

---

b)

Na podstawie podpunktu a) wiemy, że prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A, B i C przyjmuje największą wartość dla:  

$P\left(A\right)=\frac{21}{32}$