a)

Uporządkujemy w kolejności rosnącej liczby 

$x={\left(\sqrt{3}\right)}^{2\sqrt{2}},y={\left(\sqrt{3}\right)}^{1+\sqrt{2}},z={\left(\sqrt{3}\right)}^{\pi },t={\left(\sqrt{3}\right)}^{-2+\sqrt{3}}$  

Zauważmy, że wszystkie powyższe liczby są zapisane jako potęgi tej samej liczby.

Funkcja wykładnicza postaci 

$f\left(x\right)={\left(\sqrt{3}\right)}^x,x\in \mathbb{R}$  

jest rosnąca (bo √3 >1), zatem wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji rosną.

Żeby uporządkować w kolejności rosnącej liczby x, y, z, t wystarczy uporządkować rosnąco wykładniki danych potęg. 

Otrzymujemy 

• $2\sqrt{2}\approx 2,83$  
• $1+\sqrt{2}\approx 2,41$  
• $\pi \approx 3,14$  
• $-2+\sqrt{3}\approx -0,27$  

Zatem 

$-2+\sqrt{3}<1+\sqrt{2}<2\sqrt{2}<\pi$  

czyli 

${\left(\sqrt{3}\right)}^{-2+\sqrt{3}}<{\left(\sqrt{3}\right)}^{1+\sqrt{2}}<{\left(\sqrt{3}\right)}^{2\sqrt{2}}<{\left(\sqrt{3}\right)}^{\pi }$  

skąd mamy 

$t<y<x<z$  

---

b)

Uporządkujemy w kolejności rosnącej liczby 

$x={\left(\frac{1}{7}\right)}^{-\sqrt{5}},y={\left(\frac{1}{7}\right)}^{0,\left(6\right)},z={\left(\frac{1}{7}\right)}^{\frac{3}{5}},t={\left(\frac{1}{7}\right)}^0$  

Zauważmy, że wszystkie powyższe liczby są zapisane jako potęgi tej samej liczby.

Funkcja wykładnicza postaci 

$f\left(x\right)={\left(\frac{1}{7}\right)}^x,x\in \mathbb{R}$  

jest malejąca (bo ¹/₇ < 1), zatem wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji maleją.

Żeby uporządkować w kolejności rosnącej liczby x, y, z, t wystarczy uporządkować malejąco wykładniki danych potęg. 

Otrzymujemy 

• $-\sqrt{5}\approx -2,24$  
• $0,\left(6\right)=0,6666\dots$  
• $\frac{3}{5}=0,6$  

Zatem 

$0,\left(6\right)>\frac{3}{5}>0>-\sqrt{5}$  

funkcja jest malejąca więc wartości funkcji spełniają odwrotne nierówności: 

${\left(\frac{1}{7}\right)}^{0,\left(6\right)}<{\left(\frac{1}{7}\right)}^{\frac{3}{5}}<{\left(\frac{1}{7}\right)}^0<{\left(\frac{1}{7}\right)}^{-\sqrt{5}}$  

skąd mamy 

$y<z<t<x$  

---

c)

Uporządkujemy w kolejności rosnącej liczby 

$x={0,125}^{\frac{2}{3}},y={16}^{-\sqrt{3}},z={\left(\frac{1}{4}\right)}^{2-\pi },t={\left(\sqrt[6]{128}\right)}^{\frac{3\sqrt{2}}{7}}$  

Zauważmy, że 

• $x={0,125}^{\frac{2}{3}}={\left(\frac{1}{8}\right)}^{\frac{2}{3}}={\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^3\right)}^{\frac{2}{3}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{3\cdot \frac{2}{3}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=2^{-2}$  
• $y={16}^{-\sqrt{3}}={\left(2^4\right)}^{-\sqrt{3}}=2^{-4\sqrt{3}}$  
• $z={\left(\frac{1}{4}\right)}^{2-\pi }={\left({\left(\frac{1}{2}\right)}^2\right)}^{2-\pi }={\left(\frac{1}{2}\right)}^{2\cdot \left(2-\pi \right)}={\left(\frac{1}{2}\right)}^{4-2\pi }=2^{-\left(4-2\pi \right)}=2^{2\pi -4}$  
• $t={\left(\sqrt[6]{128}\right)}^{\frac{3\sqrt{2}}{7}}={\left(\sqrt[6]{2^7}\right)}^{\frac{3\sqrt{2}}{7}}={\left(2^{\frac{7}{6}}\right)}^{\frac{3\sqrt{2}}{7}}=2^{\frac{7}{6}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{7}}=2^{\frac{\sqrt{2}}{2}}$  

Zauważmy, że wszystkie powyższe liczby są zapisane jako potęgi tej samej liczby.

Funkcja wykładnicza postaci 

$f\left(x\right)=2^x,x\in \mathbb{R}$  

jest rosnąca (bo 2>1), zatem wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji rosną.

Żeby uporządkować w kolejności rosnącej liczby x, y, z, t wystarczy uporządkować rosnąco wykładniki potęg. 

Otrzymujemy 

• $-4\sqrt{3}\approx -6,93$  
• $2\pi -4\approx 2,28$  
• $\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0,71$  

Zatem 

$-4\sqrt{3}<-2<\frac{\sqrt{2}}{2}<2\pi -4$  

czyli 

$2^{-4\sqrt{3}}<2^{-2}<2^{\frac{\sqrt{2}}{2}}<2^{2\pi -4}$  

skąd mamy 

$y<x<t<z$  

---

d)

Uporządkujemy w kolejności rosnącej liczby 

$x=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2},y={\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}-2\sqrt{2}}\right)}^{-1},z={\left(\frac{\sqrt{125}+10}{5}\right)}^{-\frac{3}{2}},t={\left|\frac{1}{2-\sqrt{5}}\right|}^{\frac{1}{2}}$  

Zauważmy, że 

• $x=\sqrt[3]{\sqrt{5}+2}={\left(\sqrt{5}+2\right)}^{\frac{1}{3}}$  
• $y={\left(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{10}-2\sqrt{2}}\right)}^{-1}={\left(\frac{\sqrt{2}\cdot \left(\sqrt{10}+2\sqrt{2}\right)}{{\sqrt{10}}^2-{\left(2\sqrt{2}\right)}^2}\right)}^{-1}={\left(\frac{\left(\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}\left(\sqrt{5}+2\right)\right)}{10-8}\right)}^{-1}={\left(\frac{2\left(\sqrt{5}+2\right)}{2}\right)}^{-1}={\left(\sqrt{5}+2\right)}^{-1}$  
• $z={\left(\frac{\sqrt{125}+10}{5}\right)}^{-\frac{3}{2}}={\left(\frac{5\sqrt{5}+10}{5}\right)}^{-\frac{3}{2}}={\left(\frac{5\left(\sqrt{5}+2\right)}{5}\right)}^{-\frac{3}{2}}={\left(\sqrt{5}+2\right)}^{-\frac{3}{2}}$  
• $t={\left|\frac{1}{2-\sqrt{5}}\right|}^{\frac{1}{2}}={\left|\frac{2+\sqrt{5}}{2^2-{\sqrt{5}}^2}\right|}^{\frac{1}{2}}={\left|\frac{2+\sqrt{5}}{4-5}\right|}^{\frac{1}{2}}={\left|\frac{\sqrt{5}+2}{-1}\right|}^{\frac{1}{2}}={\left|-\left(\sqrt{5}+2\right)\right|}^{\frac{1}{2}}={\left(\sqrt{5}+2\right)}^{\frac{1}{2}}$  

Zauważmy, że wszystkie powyższe liczby są zapisane jako potęgi tej samej liczby.

Funkcja wykładnicza postaci 

$f\left(x\right)={\left(\sqrt{5}+2\right)}^x,x\in \mathbb{R}$  

jest rosnąca (bo √5+2>1), zatem wraz ze wzrostem argumentów wartości funkcji rosną.

Żeby uporządkować w kolejności rosnącej liczby x, y, z, t wystarczy uporządkować rosnąco wykładniki potęg. 

Otrzymujemy 

$-\frac{3}{2}<-1<\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$  

czyli 

${\left(\sqrt{5}+2\right)}^{-\frac{3}{2}}<{\left(\sqrt{5}+2\right)}^{-1}<{\left(\sqrt{5}+2\right)}^{\frac{1}{3}}<{\left(\sqrt{5}+2\right)}^{\frac{1}{2}}$  

skąd mamy 

$z<y<x<t$