$\left|PS\right|=\left|OS\right|=\left|NS\right|=\left|MS\right|$  

Otrzymaliśmy 4 "małe" trójkąty: PSO, OSN, NSM, MSP; oraz 4 "duże" trójkąty:  PNO, OMN, NMP oraz MPO.

 

 

Najpierw zajmijmy się "małymi" trójkątami.

 

 

Odcinki SM oraz SN mają równe długości, zatem trójkąt MSN jest trójkątem równoramiennym. Możemy zatem obliczyć miarę jego kątów przy podstawie MN:

$\sphericalangle SMN=\sphericalangle SNM=\left({180}^{\circ }-{60}^{\circ }\right):2={120}^{\circ }:2={60}^{\circ }$  

 

Wszystkie kąty w trójkącie MSN mają taką samą miarę, zatem jest to trójkąt równoboczny.

 

Trójkąt PSO jest taki sam jak trójkąt MSN (ponieważ kąty przy wierzchołku S mają takie same miary, bo są to kąty wierzchołkowe; oraz długości ramion są takie same), zatem to też jest trójkąt równoboczny.

 

 

 

Kąt ∢PSM stanowi z kątem ∢MSN parę kątów przyległych, zatem suma ich miar to 180^o. Zatem kąt ∢PSM ma miarę:

 

$\sphericalangle PSM={180}^{\circ }-{60}^{\circ }={120}^{\circ }$  

 

 

Trójkąt PSM również jest trójkątem równoramiennym (ponieważ odcinki PS oraz MS mają równe długości), możemy zatem obliczyć miarę kątów przy podstawie PM:

$\sphericalangle SPO=\sphericalangle SMP=\left({180}^{\circ }-{120}^{\circ }\right):2={60}^{\circ }:2={30}^{\circ }$  

 

 

Trójkąty PSM oraz OSN są takie same, zatem miary ich kątów również będą takie same.

 

 

Trójkąty równoboczne ostrokątne: SMN, PSO.

Trójkąty równoramienne rozwartokątne: OSN, MSP.

 

 

Zajmijmy się teraz "dużymi" trójkątami.

Popatrzmy na trójkąt ONM - kąty w tym trójkącie mają miary:

$\sphericalangle NOM={30}^{\circ }$

$\sphericalangle OMN={60}^{\circ }$

$\sphericalangle MNO={60}^{\circ }+{30}^{\circ }={90}^{\circ }$    

 

Kąt ∢MNO ma miarę 90^o, zatem jest to kąt prosty, czyli trójkąt MNO jest trójkątem prostokątnym.

Każdy bok w tym trójkącie ma inną długość, zatem jest to trójkąt różnoboczny.

 

Widzimy na rysunku, że wszystkie 4 "duże" trójkąty mają kąty o takich samych miarach, zatem wszystkie trójkąty PNO, OMN, NMP oraz MPO są prostokątne różnoboczne.