Pole powierzchni całkowitej walca

Walec o promieniu podstawy r i wysokości h ma pole powierzchni, które można obliczyć ze wzoru $P_c=2P_p+P_b=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r\left(r+h\right)$

Objętość walca

Walec o promieniu podstawy r i wysokości h ma objętość, którą można obliczyć ze wzoru $V=P_p\cdot h=\pi r^{2}h$

---

Dla każdego podpunktu będziemy obliczali długość h oraz r rozpatrując trójkąt

a) Mamy dane

$d=10,\alpha =45$  

Zatem trójkąt prostokątny jest równoramienny i

$h=2r$  

Oraz

$d=h\sqrt{2}$  

$10=h\sqrt{2}$

$h=\frac{10}{\sqrt{2}}$

$h=5\sqrt{2}$

Zatem

$2r=5\sqrt{2}$

$r=\frac{5\sqrt{2}}{2}$      

Obliczamy ze wzoru pole powierzchni walca

$P_c=2\pi \cdot \frac{5\sqrt{2}}{2}\cdot \left(\frac{5\sqrt{2}}{2}+5\sqrt{2}\right)=5\sqrt{2}\pi \cdot \frac{15\sqrt{2}}{2}=\pi \cdot \frac{75\cdot 2}{2}=75\pi$  

Obliczamy ze wzoru objętość walca

$V=\pi \cdot {\left(\frac{5\sqrt{2}}{2}\right)}^2\cdot 5\sqrt{2}=\pi \cdot \frac{25\cdot 2}{4}\cdot 5\sqrt{2}=\frac{125\pi \sqrt{2}}{2}=62,5\pi \sqrt{2}$  

---

b) Mamy dane

$d=8,\cos \alpha =\frac{1}{4}$  

Wiemy, że w danym trójkącie

$\cos \alpha =\frac{h}{d}$  

Zatem

$h=d\cos \alpha$  

$h=8\cdot \frac{1}{4}$  

$h=2$  

Z Twierdzenia Pitagorasa

$h^2+{\left(2r\right)}^2=d^2$  

Podstawiamy

$2^2+4r^2=8^2$

$4+4r^2=64\mid -4$

$4r^2=60\mid :4$

$r^2=15$

$r=\sqrt{15}$      

Obliczamy ze wzoru pole powierzchni walca

$P_c=2\pi \cdot \sqrt{15}\cdot \left(\sqrt{15}+2\right)=30\pi +4\pi \sqrt{15}$  

Obliczamy ze wzoru objętość walca

$V=\pi \cdot {\left(\sqrt{15}\right)}^2\cdot 2=30\pi$  

---

c) Mamy dane

$d=4\sqrt{3},\sin \alpha =\frac{4}{5}$  

Wiemy, że w danym trójkącie

`sin alpha = 2r/d` 

Zatem

$2r=d\sin \alpha$  

$2r=4\sqrt{3}\cdot \frac{4}{5}$  

$r=\frac{8\sqrt{3}}{5}$  

Z Twierdzenia Pitagorasa

$h^2+{\left(2r\right)}^2=d^2$  

Podstawiamy

$h^2+{\left(\frac{16\sqrt{3}}{5}\right)}^2={\left(4\sqrt{3}\right)}^2$

$h^2+\frac{768}{25}=48$    

$h^2=48-\frac{768}{25}$    

$h^2=\frac{432}{25}$  

$h=\frac{12\sqrt{3}}{5}$  

Obliczamy ze wzoru pole powierzchni walca

$P_c=2\pi \cdot \frac{8\sqrt{3}}{5}\cdot \left(\frac{8\sqrt{3}}{5}+\frac{12\sqrt{3}}{5}\right)=2\pi \cdot \frac{8\sqrt{3}}{\cancel{5}}\cdot \frac{{\cancel{20}}^4\sqrt{3}}{5}=2\pi \cdot \frac{8\sqrt{3}\cdot 4\sqrt{3}}{5}=\frac{192\pi }{5}$  

Obliczamy ze wzoru objętość walca

$V=\pi \cdot {\left(\frac{8\sqrt{3}}{5}\right)}^2\cdot \frac{12\sqrt{3}}{5}=\pi \cdot \frac{192}{25}\cdot \frac{12\sqrt{3}}{5}=\frac{2304\pi \sqrt{3}}{125}$