Załóżmy nie wprost, że podana liczba jest wymierna. Istnieją zatem liczby całkowite m oraz n takie, że

$\sqrt{2}+\sqrt{3}=\frac{m}{n}$

${\left(\sqrt{2}+\sqrt{3}\right)}^2={\left(\frac{m}{n}\right)}^2$

$2+2\sqrt{6}+3=\frac{m^2}{n^2}$

$2\sqrt{6}=\frac{m^2}{n^2}-5$

$\sqrt{6}=\frac{m^2}{2n^2}-2,5$      

Liczba po lewej jest niewymierna, natomiast liczba po prawej stronie równości jest wymierna. Sprzeczność.

Zatem

$\sqrt{2}+\sqrt{3}$

jest niewymierne.

c.b.d.u.