Z kwadratów o boku 1 układamy kwadrat o boku 4. Do jego ułożenia potrzebujemy więc następującą liczbę kwadratów

$4\cdot 4=16$

a)

Możemy sobie wyobrazić, że planszę o 16 polach zapełniamy kwadratami dwojakiego rodzaju: białymi i czarnymi, przy czym do dyspozycji mamy ich dowolną liczbę.  

 

• Ile możemy otrzymać wszystkich wzorów?

Każde z 16 pól planszy możemy zapełnić na 1 z 2 sposobów: białym lub czarnym kwadratem. Wobec tego wszystkich wzorów, jakie możemy otrzymać, jest

$\underset{\text{16 czynnikoˊw}}{\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot \dots \cdot 2}}=2^{16}=\underline{\underline{65536}}$  

 

• Ile możemy otrzymać wzorów o pionowej osi symetrii?

Zauważmy, że aby otrzymać wzór o pionowej osi symetrii, dowolnie możemy zapełnić jedynie połowę pól planszy - tę po jednej stronie osi symetrii (różowe pola na rysunku poniżej). Każde z tych 8 pól zapełniamy na 1 z 2 sposobów: białym lub czarnym kwadratem. Sposób zapełnienia drugiej połowy pól zostaje wówczas jednoznacznie zdeterminowany - tak, by symetria została zachowana.

Wobec tego wzorów, jakie możemy w ten sposób otrzymać otrzymać, jest

$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^8=\underline{\underline{256}}$  

 

• Ile możemy otrzymać wzorów o pionowej i poziomej osi symetrii?

Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami, aby otrzymać wzór o pionowej osi symetrii, dowolnie możemy zapełnić jedynie połowę pól planszy - tę po jednej stronie osi symetrii (różowe pola na rysunku poniżej).

Jednak aby dodatkowo kwadrat posiadał także poziomą oś symetrii, również w obrębie tej połowy możemy dowolnie zapełnić jedynie połowę znajdujących się tam pól (różowe pola na rysunku poniżej). Pozostałe wypełniamy już jednoznacznie, dbając o zachowanie symetrii.

Oznacza to, że tak naprawdę dowolność mamy jedynie przy zapełnianiu 4 pól planszy (różowe pola na rysunku poniżej). Każde z tych 4 pól zapełniamy na 1 z 2 sposobów: białym lub czarnym kwadratem. Sposób zapełnienia pozostałych pól zostaje wówczas jednoznacznie zdeterminowany - tak, by obie symetrie zostały zachowane.

Wobec tego wzorów, jakie możemy w ten sposób otrzymać otrzymać, jest

$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^4=\underline{\underline{16}}$  

 

• Ile możemy otrzymać wzorów o skośnej osi symetrii?

W kwadracie są 2 skośne osie symetrii, więc wzory o skośnej osi symetrii mogą być dwojakiego typu.

W każdym z tych 2 typów wzorów o skośnej osi symetrii, dowolnie możemy zapełnić jedynie 10 pól planszy:
4 pola, przez które przebiega oś symetrii, i 6 pól po jednej stronie tej osi (różowe pola na rysunku poniżej).

Każde z tych 10 pól zapełniamy na 1 z 2 sposobów: białym lub czarnym kwadratem. Sposób zapełnienia pozostałych pól jest jednoznacznie zdeterminowany poprzez konieczność zachowania symetrii wzoru.

Mamy więc następującą liczbę wzorów o skośnych osiach symetrii

$\underset{\text{10 czynnikoˊw}}{\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot \dots \cdot 2}}+\underset{\text{10 czynnikoˊw}}{\underbrace{2\cdot 2\cdot 2\cdot \dots \cdot 2}}=2^{10}+2^{10}=2\cdot 2^{10}=2^{11}=2048$  

Zauważmy jednak, że niektóre wzory - takie, które mają jednoczenie obie te skośne osie symetrii - są wówczas liczone dwukrotnie. Liczbę takich wzorów należy odjąć od otrzymanego wyniku. Sprawdzamy, ile ich jest.

Wzory posiadające jednocześnie obie osie symetrii to te, w których dowolnie (na 1 z 2 sposobów) zapełniamy jedynie pola zaznaczone różowym kolorem w obu typach wzorów o skośnej osi symetrii (czyli zielone pola na rysunku poniżej).

Zatem wzorów o obu osiach symetrii jest

$2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2=2^6=64$

Ostatecznie mamy następującą liczbę wzorów o skośnych osiach symetrii (dokładnie jednej lub dokładnie dwóch) 

$2048-64=\underline{\underline{1984}}$  

---

b)

Możemy sobie wyobrazić, że planszę o 16 polach zapełniamy kwadratami dwojakiego rodzaju: białymi i czarnymi, przy czym do dyspozycji mamy jedynie 8 białych i 8 czarnych kwadratów.

 

• Ile możemy otrzymać wszystkich wzorów?

Spośród 16 pól planszy, 8 zapełniamy kwadratami białymi. Możemy to zrobić na następującą liczbę sposobów

$\left(\begin{array}{c}16\\ 8\end{array}\right)=\frac{16!}{8!\cdot 8!}=\frac{{\cancel{8!}}^1\cdot 9\cdot 10\cdot 11\cdot 12\cdot 13\cdot 14\cdot 15\cdot 16}{{\cancel{8!}}_1\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}=12870$

Pozostałe pola zostają zapełnione w sposób jednoznaczny, czarnymi kwadratami. Wobec tego wszystkich wzorów, jakie możemy otrzymać, jest

$\left(\begin{array}{c}16\\ 8\end{array}\right)\cdot 1=12870\cdot 1=\underline{\underline{12870}}$  

 

• Ile możemy otrzymać wzorów o pionowej osi symetrii?

Aby otrzymać wzór o pionowej osi symetrii, dowolnie możemy zapełnić jedynie połowę pól planszy - tę po jednej stronie osi symetrii (różowe pola na rysunku poniżej).

Każde z tych 8 pól zapełniamy białym lub czarnym kwadratem, przy czym skoro do dyspozycji mamy tylko 8 białych i 8 czarnych kwadratów, musimy wykorzystać na tę część planszy dokładnie 4 kwadraty białe i dokładnie 4 kwadraty czarne. Pozostałe 4 kwadraty białe i 4 kwadraty czarne wykorzystamy już w sposób jednoznaczny (dbając o zachowanie symetrii wzoru) do wypełnienia drugiej części planszy.

Zatem na połowie planszy wybieramy 4 z 8 dostępnych pól i zapełniamy je białymi kwadratami. Pozostałe pola wypełniamy następnie czarnymi kwadratami w jednoznaczny sposób.

Wobec tego wzorów, jakie możemy w ten sposób otrzymać otrzymać, jest

$\left(\begin{array}{c}8\\ 4\end{array}\right)=\frac{8!}{4!\cdot 4!}=\frac{{\cancel{4!}}^1\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8}{{\cancel{4!}}_1\cdot 1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}=\underline{\underline{70}}$  

 

• Ile możemy otrzymać wzorów o pionowej i poziomej osi symetrii?

Zgodnie z wcześniejszymi rozważaniami, aby otrzymać wzór o pionowej osi symetrii, dowolnie możemy zapełnić jedynie połowę pól planszy - tę po jednej stronie osi symetrii (różowe pola na rysunku poniżej), wykorzystując do tego dokładnie 4 kwadraty białe i 4 kwadraty czarne.

Jednak aby dodatkowo kwadrat posiadał także poziomą oś symetrii, również w obrębie tej połowy możemy dowolnie zapełnić jedynie połowę znajdujących się tam pól (różowe pola na rysunku poniżej). Wykorzystujemy
w tym celu tylko 2 kwadraty białe i 2 kwadraty czarne. Pozostałe 2 kwadraty białe i 2 kwadraty czarne wykorzystujemy do wypełnienia pozostałych z 8 pól, dbając o zachowanie symetrii.

Ostatecznie wybieramy więc 2 z 4 pól planszy (różowe pola na rysunku poniżej) i zapełniamy je białymi kwadratami. Pozostałe z tych 4 pól zapełniamy w sposób jednoznaczny - czarnymi kwadratami. Resztę planszy również zapełniamy w sposób jednoznaczny - dbając o zachowanie obu rodzajów symetrii.

Wobec tego wzorów, jakie możemy w ten sposób otrzymać otrzymać, jest

$\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)=\frac{4!}{2!\cdot 2!}=\frac{{\cancel{2!}}^1\cdot 3\cdot 4}{{\cancel{2!}}_1\cdot 1\cdot 2}=\underline{\underline{6}}$  

 

• Ile możemy otrzymać wzorów o skośnej osi symetrii?

W kwadracie są 2 skośne osie symetrii, więc wzory o skośnej osi symetrii mogą być dwojakiego typu.

W każdym z tych 2 typów wzorów o skośnej osi symetrii, wystarczy określić, jak zapełnić jedynie 10 pól planszy:
4 pola, przez które przebiega oś symetrii, i 6 pól po jednej stronie tej osi (różowe pola na rysunku poniżej).

Każde z tych 10 pól zapełniamy białym lub czarnym kwadratem, przy czym do wypełnienia całej planszy możemy użyć jedynie 8 białych i 8 czarnych kwadratów.

Załóżmy, że wśród tych 10 pól będziemy wybierać pola dla białych kwadratów (pozostałe różowe pola zapełnimy
w sposób jednoznaczny czarnymi kwadratami, a następnie symetrycznie zapełnimy szare pola kwadratu).

Dodatkowo zauważmy, że aby dało się otrzymać symetryczny wzór przy tak ograniczonej liczbie białych i czarnych kwadratów, 4 różowe pola, przez które przebiega oś symetrii, muszą być pokryte parzystą liczbą białych kwadratów. Do tego liczba białych kwadratów przypadających na pozostałe różowe pola będzie taka sama jak liczba białych kwadratów w "szarej części" planszy (ze względu na symetrię) 

Wobec tego w Typie 1 wybieramy dla białych kwadratów

• 0 z 4 różowych pól przez które przebiega oś symetrii i do tego 4 z 6 różowych pól, przez które nie przebiega oś symetrii (i z automatu symetrycznie, w jednoznaczny sposób, układamy 4 białe kwadraty na szarych polach; wolne pola zapełniamy czarnymi kwadratami)

lub

• 2 z 4 różowych pól przez które przebiega oś symetrii i do tego 3 z 6 różowych pól, przez które nie przebiega oś symetrii (i z automatu symetrycznie, w jednoznaczny sposób, układamy 3 białe kwadraty na szarych polach; wolne pola zapełniamy czarnymi kwadratami)

lub

• 4 z 4 różowych pól przez które przebiega oś symetrii i do tego 2 z 6 różowych pól, przez które nie przebiega oś symetrii (i z automatu symetrycznie, w jednoznaczny sposób, układamy 2 białe kwadraty na szarych polach; wolne pola zapełniamy czarnymi kwadratami)

Analogicznie postępujemy, układając wzory Typu 2.

Mamy więc następującą liczbę wzorów o skośnych osiach symetrii

$\underset{\text{Typ 1}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)}}+$

$+\underset{\text{Typ 2}}{\underbrace{\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)}}=$      

$=\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}6\\ 2\end{array}\right)\cdot 2=$  

$=1\cdot \frac{\cancel{4!}\cdot 5\cdot 6}{\cancel{4!}\cdot 1\cdot 2}+\frac{\cancel{2!}\cdot 3\cdot 4}{\cancel{2!}\cdot 1\cdot 2}\cdot \frac{\cancel{3!}\cdot 4\cdot 5\cdot 6}{\cancel{3!}\cdot 1\cdot 2\cdot 3}+1\cdot \frac{\cancel{4!}\cdot 5\cdot 6}{1\cdot 2\cdot \cancel{4!}}\cdot 2=300$  

Zauważmy jednak, że niektóre wzory - takie, które mają jednoczenie obie te skośne osie symetrii - są wówczas liczone dwukrotnie. Liczbę takich wzorów należy odjąć od otrzymanego wyniku. Sprawdzamy, ile ich jest.

Wzory posiadające jednocześnie obie osie symetrii to te, w których "dowolnie" (uwzględniając ograniczenia związane z określoną liczbą kwadratów każdego koloru) zapełniamy jedynie pola zaznaczone różowym kolorem
w obu typach wzorów o skośnej osi symetrii (czyli zielone pola na rysunku poniżej).

Zauważmy, że każdy kwadrat położony na zielonym polu, przez które przebiega oś symetrii, determinuje symetryczne ułożenie drugiego kwadratu, zaś każdy kwadrat położony na zielonym polu, przez które nie przebiega oś symetrii, determinuje ułożenie 3 kolejnych kwadratów (aby symetria wzoru została zachowana). Wobec tego
    -  wybranie zielonego pola z przebiegającą osią symetrii "zużywa" 2 kwadraty
    -  wybranie zielonego pola bez przebiegającej osi symetrii "zużywa" 4 kwadraty

Skoro mamy tylko 8 białych kwadratów, to wybieramy

• 4 z 4 zielonych pól przez które przebiega oś symetrii i do tego 0 z 2 zielonych pól, przez które nie przebiega
  oś symetrii

lub

• 2 z 4 zielonych pól przez które przebiega oś symetrii i do tego 1 z 2 zielonych pól, przez które nie przebiega
  oś symetrii

lub

• 0 z 4 zielonych pól przez które przebiega oś symetrii i do tego 2 z 2 zielonych pól, przez które nie przebiega
  oś symetrii

Zatem wzorów o obu osiach symetrii jest

$\left(\begin{array}{c}4\\ 4\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 0\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 2\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}4\\ 0\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}2\\ 2\end{array}\right)=1+12+1=14$

Ostatecznie mamy następującą liczbę wzorów o skośnych osiach symetrii (dokładnie jednej lub dokładnie dwóch) 

$300-14=\underline{\underline{286}}$

Uwaga: Odpowiedź podana w zbiorze zadań (czyli 150) sugeruje możliwość "obracania" planszą. Takie rozumowanie nie jest jednak spójne z przyjętym we wcześniejszych przypadkach punktem widzenia - takim, który pozwala jedynie rozważać różne warianty rozmieszczenia kwadratów na nieruchomej planszy.